六讲函数的连续性.docVIP

第六讲：函数连续性 教学目标： 1、要求学生进一步理解函数连续性，能判断函数的间断点。 2、理解，应用连续函数的性质进行四则运算 3、掌握，应用闭区间上连续函数的性质 4、复习全章内容，加以系统化 教学重点与难点： 函数间断点的判定 闭区间上连续函数性质应用。 课型： 新授课。 课时：总第14 ~ 17课时 数 学 过 程 复习巩固。 1.函数f(x)在点x处连续的定义。 .、 二.新课 定理3： 由基本初等函数经有限四则运算和复合运算得到的函数统称为初等函数。一切初等函数在其定义区间都是连续的。 例题选讲： 求下列函数的间断点。 (三)闭区间上连续函数的性质 定义3 设函数f(x)定义于数集D上，若存在一点x0D，使对一切xD，都有： f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0) ) 则称f(x0)为f(x)在D上的最小值，点x0为最小值点。（则称f(x0)为f(x)在D上的最大值，点x0为最大值点。） 定理1 （最值存在定理） 若函数f(x)闭区间[a、b]上连续。则f(x)在[a、b]上一定存在最大值M，最小值m。 定理2（介值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a、b]上连续，则f(x)取到它的最小值M和最小值m之间的 一切中间值，即对介于m与M之间的任常数C，mCM。至少存在一个（a、b） 使f()=C。（如右图） 推论 （零点定理） 若函数f(x)在闭区间[a、b]上连续，且f(a)与f(b)异号，至少存在一个（a、b）使f()=0 (定理用于证明函数某些根的性质，及方程的根性质，关键如何构造函数)。 证明方程 x-2sinx=0在（ 、）内至少有一根 证明：令f(x)=x-2sinx 显然f(x)为初等函数，在[上连续 且：f()=-2sin=-20 f()=-2sin=-0=0 f()f()0 由根的存在定理知，方程x-2sianx=0在（ 、）内至少存在一个根 设f(x)=ex-2,求证在区间（0、2）内至少有一点x0,使e x0-2= x0 证明：令= ex-x-2 显然为初等函数在[0、2]上连续 且（0）=e0-0-2=-10