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第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 §1. 关于实数的基本定理 前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。共有六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 一 子列 定义 设为数列，为正整数集的无限子集，且则数列 称为数列的一个子列,简记为. 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。 由定义可见，的子列的各项都选自，且保持这些项在中的先后次序．中的第项是中的第项，故总有．实际上本身也是正整数列的子列． 例如，子列由数列的所有偶数项所组成，而子列则由的所有奇数项所组成．又本身也是的一个子列，此时，， 数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列．例如和都是的非平凡子列． 子列的下标不是表示在子列的第k项。所以子列收敛的定义是针对k的。 定理 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛． 证 必要性 设，是的任一子列．任给，存在正数，使得当时有．由于，故当时更有，从而也有，这就证明了收敛(且与有相同的极限)． 充分性 考虑的非平凡子列，与．按假设，它们都收 敛．由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性， ． （9） 又既是又是的子列，同样可得 （10） (9)式与(10)式给出 所以收敛 若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限．于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散．例如数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于—1，从而发散.再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列发散.由此可见，定理是判断数列发散的有力工具． 例：证明 不收敛。 推论：若对任何：都有收敛，那么在的极限存在。 证明：若存在着两个不同的极限，选两个不同的子列，共同组成一个数列，则此列不收敛，与前提矛盾。 注意与归结原则的区别。 二 上确界和下确界 1 区间与邻域 设、 R，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间． 无限区间:[) , ,都称为无限区间． 有限区间和无限区间统称为区间． 设，．集合称为点的邻域，记作，或简单地写作Ｕ. 点的空心邻域定义为或简单地记作 ，注意的差别在于: 不包含点． 此外，我们还常用到以下几种邻域： 点的右邻域，简记为 点的左邻域，简记为 去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为．) 邻域，其中M为充分大的正数(下同)； 邻域，领域． 2 有界集.确界原理 定义 设为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)． 若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集． 例 证明数集为正整数}有下界而无上界． 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集． 为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则，且．这就证明了无上界． 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集． 定义 设是R中的一个数集．若数满足： （i）对一切，有，即是的上界； （ii）对任何存在，使得即又是的最小上界 则称数为数集的上确界，记作 定义 设是R中的一个数集．若数满足： （i）对一切，有，即是的下界 （ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界． 例 设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： 解 先验证 （i）对一切，显然有即是的上界． ii对任何，若，则任取都有；若，则由有理