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关于连续与一致连续 连续与一致连续是数学分析中非常基础也是非常重要的概念。这两个概念来自于实际问题、现实世界。我们经常观察到的一些自然现象有一些共同特性：例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等，反映出来的是事物连续不断地进行的过程。如果用函数来刻画，即研究函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数。 问题1：连续与一致连续是如何定义的？二者区别在哪？举例说明。 答：连续与一致连续的定义如下： 定义1 若函数在点附近有定义，并且时，我们称在点连续,或者称点是的连续点. 定义 若函数在点附近有定义，若只要：，都有，则称在区间处连续。 定义2 函数在区间的每一点都连续，则称在区间内连续。 定义3设函数在区间上有定义，若只要：，都有，则称在区间上一致连续. 注：函数在某区间内的连续性只反映函数在区间内每一点附近的局部性质； 函数在某区间内一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，是反映函数在区间上更强的连续性。直观地说，在区间I一致连续意味着：不论两点在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使. 显然必然在I上每一点连续。按照一致连续的定义，在区间I不一致连续意味着：对于某个对任何的（无论多么小），总存在两点尽管，但却有. 在连续定义中存在的不仅与有关，还与的位置有关，如果能做到只与有关即能找到适合I上所有点的公共，则在I上每点连续，且一致连续；否则在I上每点连续，但不一致连续。一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共，这种情况在I上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共，比如我们可取 ，则对I上任意两点 ，只要 时，便有 .这种情况，在I上不仅逐点连续，而且是一致连续 例1 证明 在 内一致连续。 证明 ，取 ，满足，就有：. 所以 在 内一致连续. 例2 证明 在 内一致连续，但在内不一致连续。 证明 在 内一致连续： ，取 ，满足： ，就有：. 所以 在 内一致连续。 但在内不一致连续。 事实上，取 , ，都存在两点 ， 尽管 ， 但 . 所以， 在内不一致连续。 问题2：在闭区间上连续与一致连续二者有何关系？ 答：在闭区间上连续与一致连续是一回事，有下面的定理说明： 定理 1 （Contor定理） 函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续。 问题3：在有限非闭区间上连续与一致连续二者有何关系？ 答：在有限非闭区间上连续与一致连续有下面的关系： 定理2 函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且与都存在。 证明：先证充分性：构造辅助函数，显然，在上连续. 由Contor定理，在上一致连续，∴在上一致连续，即在上一致连续. 再证必要性：在上连续显然。下证与都存在。 在上一致连续，∴且，有成立. 现对，取，则有且，∴且，有成立.∴由Cauchy收敛准则，存在. 同理，存在. 推论2.1 函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且存在。 推论2.2 函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且存在。 问题4：一致连续函数是否具有区间的可加性？ 答：有，即下面的定理： 定理3.（一致连续函数的区间可加性） 函数在区间和上一致连续，若，则在上一致连续。] 证明：1、若或，则结论显然； 2、若和不相互包含。∵分别在和上一致连续， ∴且，有成立， 且，有成立. 现考察，∴可从中取得一点.∵在和上一致连续，∴它必在上一致连续，∴在处连续.由Cauchy收敛准则，上述，有成立. ∴上述不同时属于或的且，有成立. ∴且，恒有成立. ∴在上一致连续. 注：可以看到，该判别法的作用是非常强大的。它把函数已知的一致连续区间进行整合和延拓，得到新的一致连续区间。这样的的区间可加性为我们分段处理函数一致连续性问题提供了理论基础。在许多证明中，该判别法往往是简捷易行而又不可替代的。 问题5：在无穷区间上连续与一致连续二者有何关系？ 答：在无穷区间上连续与一致连续有下面关系： 定理4. 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在. 证明：∵存在，由Cauchy收敛准则，， 有成立. ∴在上一致连续. ∵在上连续，∴在上连续，从而一致连续. ∵，由定理3，在上一致连续. 推论4.1 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在. 同理，可得定理5及其推论： 定理5. 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在. 推论5.1 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在. 定理 6 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在. 证明：∵在上连续，∴在上连续. ∵存在，由定理4，在上一致连续. 同理在上一致连续. ∵，由定理3