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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号 学士学位论文 关于积分上限函数的主要性质及其应用 学生姓名： 艾合买提·黑力力 学 号： 20040101010 系 部： 数系数学与应用数学2004-3班中文摘要 积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。 关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。 目　录 中文摘要 1 引言 1 1.积分上限函数的性质 1 定理1.1 1 定理1.2 2 定理1.3 3 定理1.4 3 定理1.5 5 定理1.6 6 2. 积分上限函数的应用 6 2.1 积分上限函数在求导数中的应用 6 2.2 积分上限函数在极限中的应用 7 2.3 积分上限函数在单调性的应用 8 2.4 积分上限函数在函数关系中的应用 9 2.5 在讨论函数连续性方面的应用 11 2.6 证明方程根的应用 11 2.7 积分上限函数在证明等式题中的应用 12 2.8 积分上限函数在计算重积分中的应用 13 2.9 积分上限函数在证明不等式题中的应用 14 2.10 积分上限函数在求解函数方程的应用 15 2.11 积分上限函数在证明恒等式题中的应用 16 2.12 积分上限函数在证明中值定理中的应用 17 总结 19 参考文献 20 致谢 21 引言 积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。 在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。 在“数学分析”中，学过积分上限函数及其简单的性质。 定义：设函数在区间可积，则对于每一个取定的，对应唯一个积分值，即 称为函数的积分上限函数。 积分上限函数有明显的几何意义： 设有，则积分上限 函数是区间上的 区边梯形的面积。如图（1）的阴 影部分。 1.积分上限函数的性质 定理1.1 如果函数在上是可积，则积分上限函数在区间连续。 证明： 。 又由已知条件，在上有界， 即，有。 ，令 ， 即，当时，有， 即。 在上连续。 由在上的任意性，在上连续。 定理1.2 若函数在区间连续，则积分上限函数 在有连续的导数，且， 即积分上限函数是被积函数的一个原函数。 证明：设，取，使则有 已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点,使 = 取，（） 则，或 又由函数在的连续性，有 即，。 由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。 在区间上的连续函数存在原函数，而积分上限函数就是的一个原函数。 定理1.3 设函数在上可积，则积分上限函数为满足Lipschitz条件的函数。特别地，在上一致连续。 证明：已知在上可积，由可积的必要条件，在上必有界，即，有，则得到 对，有 。 在上满足Lipschitz条件。 另一方面，由定理1.1，在连续 在一致连续。 定理1.4 如果函数在区间上连续， 当上限是的可微函数时，有如下面求导公式 ； 当上限与下限都是的可微函数时，则有如下求导公式： 。 证明：（1）取，使 由已知函数是可微函数， 故， 又在连续，由积分中值定理 则 是可微，因此是连续 ， 。 （2）,取，使 由已知，和都是可微函数。 又 在连续，由积分中值定理 同理得 与可微，且，连续函数 ， 。 定理1.5 周期为T的可积函数的积分，当时，是以T为周期的周期函数。 证明： 是周期为T的可积函数 令 则 作变量代换：， 当时，函数成立。 即当时，函数时以T为周期的周期函数。