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具多个维变量的-拟正则映射的高阶可积性 钱 芳 河北大学 数学与计算机学院 河北保定 071002 摘 要 应用Sobolev空间的分析方法和Gehring引理，得到了高维空间中具多个维变量的-拟正则映射的高阶可积性和分量函数的H?lder连续性，推广了T.Iwaniec和高红亚的结果。 关键词：具多个维变量的-拟正则映射，高阶可积性，Gehring引理。 中图法分类号：O174.55. 具多个维变量的拟正则映射的定义是由N.S.Dairbekov在文[1]中引入的。这个定义是-维欧式空间中拟正则映射的推广。文[1]将经典意义下的偶数维及任意维数下拟正则映射的结果推广到具多个维变量情形。本文研究具多个维变量的-拟正则映射，利用Sobolev空间的分析方法，得到了一个弱逆H?lder不等式，利用Gehring引理，得到了其高阶可积性。推广了T.Iwaniec[4]和高红亚[5]的结果。 本文采用Dairbekov文[1]中的记号。设, 。维欧式空间记为。引入空间，。对，，记 ， ， 这里 ，，，。 设为区域，为中的映射，其Jacobi矩阵 ， 为一个在中几乎处处有定义的分块矩阵。对，记 。 定义 映射称为具多个维变量的-拟正则映射，，若在中几乎处处有 ， (1) 这里对矩阵，，其范数定义由定义。 上述定义中若，则由Hadamard不等式知为常数，因此当时设。记从到的-拟正则映射的全体为。当时，与通常的到自身的-拟正则映射一致，见[5]。对，， 情形，与多维复Beltrami方程的解类一致，见[1]。因此上述定义是经典拟正则映射定义的推广。关于拟正则映射的一些结果参见[1-5]。 本文我们利用Sobolev空间的分析技巧及Gehring引理，得到了具多个维变量的-拟正则映射的高阶可积性结果： 定理 设为具多个维变量的-拟正则映射，，则存在可积指数，使得。 注 这个结果说明具多个维变量的-拟正则映射的可积性可以自我提高，这是T.Iwaniec[4]和高红亚[5]相应结果的推广。 由定理可得-拟正则映射分量函数的局部H?lder连续性结果： 推论设为具多个维变量的-拟正则映射，，则的每个分量函数，。 证明 由Sobolev嵌入定理即得。 下面的Gehring引理在定理的证明中需要用到，它说明了如果一个函数满足弱逆H?lder不等式，那么其可积性可以提高。这个引理最初是有F.W.Gehring[6]在研究空间拟共形映射时得到的，由M.Giaquinta[7]推广到现在的情形。以下用表示以为半径的球。 引理 设。，，，。若对任意成立估计式 这里，， 表示上的积分平均。则存在可积指数，使得，并且下面的估计式成立 这里与球无关。 定理的证明 下面出现的表示与有关的常数，在不同的场合其取值不必相同。对任意球，取，使得，在上，且。若引入记号 和 则 ，。 (2) (2)式对求和，并在球上积分得到 (3) 由于，由Stokes公式，(3)式左端的积分为零。这样 。 (4) 联合(4)式与(1)式得到 (5) 这里。计算得知，这样由(5)式得 。 (6) 由定义，若是-拟正则映射，则也是，这里为常向量。于是可假设在球上的积分平均为零，这使得我们可以应用Poincaré不等式。由(6)得 两边除以得到 这是一个弱逆H?lder不等式。定理由引理即得，证毕。 参 考 文 献 [1] N.S.Dairbekov, Quasiregular mappings of several n-dimensional variables, Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 1993, 34(4): 87-102. [2] T.Iwnaniec, G.Martin, Geometric function theory and non-linear analysis, Clarendon Press, Oxford, 2001. [3] T.Iwaniec, G.Martin, Quasiregular mappings in even dimensions, Acta Math., 1993, 170: 29-81. [4] T.