典型信号变换.docVIP

前三种信号由于持续时间无限长均不满足信号是绝对可积的条件，因而直接求傅立叶积分变换，函数均不收敛。为此，先将信号乘以实指数衰减函数e—at(a0)以保证信号是绝对可积，进而求a→0的极限值，使傅立叶变换的应用领域从能量信号扩展到功率信号。 (1) 单位直流信号 x(t)=1 由于该信号t (―∞，∞)，所以必须乘以双边实指数衰减函数e—a|t|以保证信号是绝对可积。利用[例3—3]结果，求得 ??? 故有 ??? 当ω=0，上式极限为不定式，按罗比塔法则求得 ??? 故有 ??? 说明F[1]在ω=0处存在δ(ω)，其强度为 ??? 或写成 （3.13） ??? 图3.9(a)表明单位直流信号的频谱除了ω=0有个冲激以外其他频率成分均为零。这个结论对x(t)等于常数的信号都是正确的，不同的仅仅是冲激的强度。直流信号的傅立叶变换还可以通过矩形脉冲当脉宽τ→∞的极限情况来求得。这种把原来不满足绝对可积的信号，通过乘上收敛因子取代极限的办法而求得的傅立叶变换，称为广义傅立叶变换。 ????????????? 图3.9(a) 单位直流信号及其频谱 2）符号函数（正负号函数）信号（signum） ??? 根据符号函数信号的定义式，有 （3.14a） ??? 由于该函数不满足绝对可积的条件，而且t€(―∞，∞),所以与单位直流信号类似，必须乘以双边实指数衰减函数以保证积分变换的收敛，即 ??? 或写成 （3.14b） ??? 符号函数可以看作用来切换极性的开关函数。它是由不同极性的阶跃信号（单边直流信号）组成。由于存在极性的跳变因而不仅具有丰富的低频分量，还有高频分量如图3.9(b)所示。在信号理论分析中该函数经常用到。 ????????????? ??? 图3.9(b)? 符号函数信号及其频谱 （3）阶跃信号 ??? 根据定义式有 ??? 按单位阶跃信号可分解为偶信号与奇信号之和，根据式（3.6）有 ??? 所以 ????????? （3.15） ??? 从图3.9(c)可见，单位阶跃信号的幅频特性在ω=0有个冲激，说明主要成分为直流。另外由于t=0有突跳，所以在ω≠0还存在其它频率成分，不过随着频率的增加而较快地衰减。相频特性当ω0，Ф(ω)= ―π/2，当ω0,Ф(ω)= π/2。u(t)的傅立叶也可以通过单边实指数衰减信号e—atu(t)当a→0取极限来求得。 ? ?