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第一章 函数与极限 授课题目： §1.7无穷小的比较 §1.8函数的连续性与间断点 教学目的与要求： 1.会进行无穷小量阶的比较，会用等价无穷小量简化极限运算 2.理解连续性的定义；知道连续性的三个要素 3.了解间断点的定义；会判别间断点的类型 教学重点与难点： 重点：用等价无穷小简化极限的运算，连续性的概念 难点：间断点的类型的判断，分段函数分界点是否连续的判断方法 教学内容： §1.7无穷小的比较 复习上次课内容，做下面求极限的练习题： １、（１） （２） （３） ２、（１） （２） （３） 两个无穷小的和、差、乘积仍是无穷小。但关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况。 例如：都是无穷小，但 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向零的“快慢”程度。 定义：如果，就说是比高阶的无穷小，记作； 如果，就是说是比低的无穷小 如果，就说与是同阶无穷小 如果，就说是关于的阶无穷小 如果，就说与是等价无穷小，记作 因为所以当是比高阶无穷小，即 因为所以当是比低阶无穷小。 因为所以当与是等价无穷小，即 例1 证明：当 证 因为 ,所以 关于等价无穷小的重要性质： 定理1 是等阶无穷小的充分必要条件为 定理2 设且存在，则 注：根据定理2，可利用等阶无穷小简化极限运算，即求两个无穷小之比的极限时分 子和分母都可用等价无穷小来代替。 例3 求 解 当，所以 例4 求 解 当，无穷小与自身等价，所以 例5 求 解 当所以 给出一个错误利用等价无穷小的例子。 *补充例题 求 解：原式= × 原式 因为，所以 所以原式 注：常见的等价无穷小量： §1.8 函数的连续性与间断点 自然界有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等，都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性。 例如就气温的变化来看，当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓连续性。 一、增量、函数的连续性 1、自变量的增量： 设变量有初值，终值，则称的增量，记：，即： 注 时，；时，。 2、函数的增量： ， 称为的函数的增量。 注：是由引起的。 3、连续函数的概念： 定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋向零时，对应的函数的增量也趋向于零，即 那么就称函数在点连续。 等价定义： 4、左、右连续概念： 若()则称在左(右)连续。 5、区间上连续：若在内任一点连续，则在内连续，又在右连续、左连续，则称在闭区 上连续。 注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 从书上例题可以看出，下列函数连续： （1）有理整函数在上连续。 （2）有理分式函数在定义域上连续。 （3）在内连续。 （4）在上连续。 *证明见P62 （５）在上连续。 二、函数的间断点 1、概念： 若在不满足连续的条件，则称在是不连续的或称是间断的，称的间断点。 不连续点（间断点）的情形： 在没有定义 虽在有定义，但不存在 虽在有定义，且存在，但 间断点类型： 第一类间断点 左右极限相等（可去间断点） 间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点 （左右极限至少有一个不存在） 2、判断：???在满足以下条件之一 ⑴；⑵；⑶，则为的间断点。 例1 研究在处的连续性。 解 为间断点，此时称为无穷间断点。 函数的图形如下，其在点没有定义；当时，函数值在-1与+1间变动无数次，所以称点称为函数的振荡间断点。 例3 研究在的连续性。 解 ， 为间断点， 又： ，可补充定义： 于是： 在 时连续，称 为可去间断点。 例4 设 考察在处的连续性。 解 为间断点， 此时，可改变函数定义使其在连续， 如：，在 连续，称可去间断点。 例5 设： ，考察在的连续性。 解 为间断点(跳跃间断点，不可去)。 注 跳跃间断点与可去间断点统称第Ⅰ类间断点，特点：在的左右极限存在。 间断点：Ⅰ类：可去、跳跃；Ⅱ类：无穷、振荡。 *补充例题 设：，问：⑴是否存在？⑵当在连续时， 解 ⑴ 1，又：， ⑵ ，，，。 *补充例题 函数，在处连续，则＝？ 解：分析：因为，又， 根据在连续的定义可知，即． *补充例题 求的间断点并回答