函数与极限(五).docVIP

第一章 函数与极限 授课题目： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质 教学目的与要求： 1明确初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性求函数的极限。 2掌握闭区间上连续函数的性质 教学重点与难点： 重点：会利用初等函数求函数的极限及介值定理 难点：介值定理的应用 讲授内容： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 若和在点连续，则它们的和（差），积f及商（当。 例如 ，则其在定义域上连续。 二、反函数的连续性 定理2 如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。 例如 在上单调增加且连续，它的反函数 在[-1，1]上也单调增加连续。 三、复合函数的连续性 定理3 设函数由函数与函数复合而成，若，而函数在连续，则 ，即 例3 求 解 可看作由与复合而成，因为，而函数在点连续，所以 == 注意：P66 （1）、（2）式解释及求极限方面的应用。（1）告诉我们可作变量替换求极限，（2）式说明函数符号与极限符号可交换。 定理4 设函数由函数与函数复合而成，若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在也连续。 四、初等函数的连续性： 结论1 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 结论2 一切初等函数在其定义域内都是连续的 关于初等函数连续性的结论提供了求极限的方法，即如果是初等函数，且是定义域内的点，则 例如 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 令，则于是 = 例8 求 解 一般地，，其中，， 补充例题 求： 。 补充例题 已知：，求：。 解 ， 又： 。 *补充例题 ： 解 记：， 时， = = =。 §10 闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续： 若在开区间上连续，在左端点右连续，右端点左连续，则称在闭区间上连续。 最大值、最小值： 对于区间I上有定义的函数，如果有，有 则称是在区间I上的最大值（最小值）。 例： 在上 0，2 在上 -1，1 在（）上 无 一、有界性与最大最小值定理 定理1：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。 注：特别注意定理的条件，否则不能保证结论成立。 1.开区间结论不一定成立，见左下图； 2.区间内有间断点结论不一定成立，见右下图。 二、零点定理与介值定理 若，则称为的零点。 定理2（零点定理）：设函数在闭区间 上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点使。 定理3（介值定理）：设函数在闭区间 上连续，且这区间的端点取不同的函数值 及， 那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得 证 设，则在闭区间上连续，且与异号。根据零点定理，开区间内至少有一点，使得 又，因此由上式即得 推论：P７2 例1 证明方程 在区间内至少有一实根。 证 设 =，则 ， ，至少(零点定理) 。 补充例题： 1、下列函数在是否连续？为什么？ （1） （2） 2、设 问k为何值时，函数在其定义域上连续？为什么？（k=1） 3、试证方程 ，在内至少有一个根。 证 设 ，则 且 ，， 故 至少(零点定理) 。 练习题 1、 问k为何值时，函数在其定义域上连续？为什么？(k=2) 2、试证方程 至少有一个小于1的实根。 证 ，则 ，且 ， 由介值定理 至少 ， 。 3、证明：若在上连续，且，则在内至少有一点，使得 。 证 令 ，则 ， 且 ，， 故：至少 (零点定理) ，即 ，也即：。 习题： 1、试证方程 在内至少有一实根。 证 设 ，则 ， ，至少(零点定理) 。 2、试证方程 ，至少有一个正根且不超过。 解 设：，则 ，且 ， 若：，则 ，且 若：，则至少 (介值定理)，， 即 故 至少有一个正根，且不超过。 注：闭区间上的连续函数满足最大（小）值定理、介值定理、零点定理，这些性质常可用于证明某些等式和不等式；判定某些方程的根的存在性和根的范围等。 课外作业：P69：