函数极限与连续小结.docVIP

第一章 函数、极限与连续微分 小结 一、概念部分： 1、函数的概念；复合函数和初等函数的概念； 2、函数极限的定义；无穷大量与无穷小量的概念；极限的法则；两个重要极限； 3、函数连续的概念；连续的判断；间断点的判断与分类；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。 二、运算部分： 1、求极限 （1）利用极限的四则运算法则； （2）对于分式的极限，利用无穷大量与无穷小量的关系； （3）对于分式的极限，若分子分母的极限都为零，进行因式分解，消去公因式； （4）对于，其中的多项式，可以利用公式。 （5）利用两个重要极限公式； （6）利用函数的连续性； （7）利用无穷大量与无穷小量的性质； （8）利用替换等价无穷小量的办法； （9）对于分段函数，在分段点的两侧比较左右极限的办法； （10）对于不定型的极限应用洛必达法则（留待下一章介绍）。 三、典型题例： (一)、选择题： 1、函数在点处有定义是存在的（ ） A、必要非充分条件； B、充分非必要条件； C、充分必要条件； D、无关条件。 2、等于（ ） A、； B、； C、； D、。 3、等于（ ） A、； B、； C、； D、。 4、当时，下列（ ）为无穷小量 A、； B、； C、； D、。 5、在趋近于（ ）时，不是无穷小量。 A、； B、； C、； D、。 6、设时，（ ） A、高阶无穷小量； B、低阶无穷小量； C、等价无穷小量； D、同阶、而等价的无穷小量。 7、设 在内连续，则分别为（ ） A、； B、； C、； D、。 8、设在处连续，且，则（ ） A、； B、； C、； D、。 (二)、填空题： 1、设，则 。 2、当时，函数，则 。 3、设，则 。 4、设在点处连续，则 。 5、设 。 (三)、简答题： 1、设 2、设 3、求下列函数的间断点，并判断其类别： （1）； （2）； （3）； （4）。 4、试判定方程 有几个根？这些根分别在什么范围内？ 5、判定方程至少有一个正根。 6、设处连续，且。 7、若当，求。 (四)、计算题： 1、； 2、； 3、； ； ； 4、； ； ； 5、； 6、 7、； 8、（令））在点处有定义是存在的（D） A、必要非充分条件； B、充分非必要条件； C、充分必要条件； D、无关条件。 2、等于（） A、； B、； C、； D、。 3、等于（B） A、； B、； C、； D、。 4、当时，下列（B）为无穷小量 A、； B、； C、； D、。 5、在趋近于（B）时，不是无穷小量。 A、； B、； C、； D、。 6、设时，（D） A、高阶无穷小量； B、低阶无穷小量； C、等价无穷小量； D、同阶、而等价的无穷小量。 7、设 在内连续，则分别为（B） A、； B、； C、； D、。 8、设在处连续，且，则（C） A、； B、； C、； D、。 二、填空题： 1、设，则 12 。 2、当时，函数，则 2 。 3、设，则 。 4、设在点处连续，则 1 。 5、设 。 三、简答题： 1、设 解： 2、设 解： 3、求下列函数的间断点，并判断其类别： （1）是第一类、可去间断点； （2）是第一类、可去间断点； （3）是第一类、可去间断点； （4）是第二类、振荡间断点。 4、试判定方程 有几个根？这些根分别在什么范围内？ 解：令 ， ， ， ， ， ， ， 因为二次函数至多有二个实数根， 因此可知，即为所求的两个实数根，且分别在区间内。 5、判定方程至少有一个正根。 解：令 ， ，， ， ， 即至少存在一个正根。 6、设处连续，且。 解：处连续，且， 7、若当，求。 解：。 四、计算题： 1、； 2、； 3、； ； ； 4、；； ； 5、；6、