函数极限连续压缩打印版doc.docVIP

函数、极限、连续. 例4、设和互为反函数，则的反函数为(B) (A) (B) (C) (D) 解：，则，即，于是，即 故的反函数为. 题型二 函数性态 例1、定义于上的下列函数为奇函数的是(C) (A) (B) (C) (D) 例2、当时，变量是(D)（注意函数的局部性质） (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量 例3、设，下列结论成立的是(C) (A)存在,当时， (B) 存在,当时， (C) 若,则存在,当时， (D) 若当时,,那么. 注1：若，则对，存在,当时，总有（局部有界）. 注2：若，当时,,那么（局部保号）. 例4、在下列区间中有界的是(A) (A) (B) (C) (D) 注：若在内连续，且,则在内有界. 题型三 未定式计算（限于，，，，另三种，以后讲） 例1、 求极限： （1）；（2） ；（3）； （4）；（5）；（6）；（7） 注：当时，. 注：. 题型四 极限存在题型 例1、判断下列极限存在吗？ （1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）（7） 注1： 时，，，，的极限不存在，先研究 时，，的极限不存在，只需注意其为有界量，，也可考虑有界量性质 注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论 注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理 注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则 注5：极限函数的求法，要注意对取值范围的讨论，如等. 例2、求其中。 提示： 令 ，则（本题的结论是一个常用结论）. 例3、设，且（C） (A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)不一定存在 (D) 一定不存在 例4、设，则数列有界是数列收敛的(B) (A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）即非充分地非必要条件. 例5、设，证明：数列极限存在并求此极限. 证：由，知，， 从而有，则上有界， 而=，则单调增，或者由知递增 由单调有界准则，知存在，不妨设 将两端取极限得，由此解得或（舍去），则 . 注：对数列，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列的收敛性. 题型五 极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断） 例1、当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（D） （A）（B）（C）（D） 例2、已知当时,与是等价无穷小,求的值. 例3、求曲线的渐近线方程. 注：记忆各类渐近线的确定方法： ①若，，称为一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水平渐近线； ②若，，称为的一条铅直渐近线； ③若，，称为的一条斜渐近线. 例4、试确定的间断点，并判断其类型. 解：其间断点为 （），因，则为其可去间断点； 又 ， 此时， （）为其第二类间断点 而 为其跳跃间断点. 例6、求证：设在间断，在连续，则在间断.并举例说明在可能连续. 提示：设，，则在间断，在连续，在连续；若设，在间断，但在均连续. 注：“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件. 课后练习 1（A）、，，则． 2（A）、当时，． 3（B）、． 4（A）、与相同的函数为( ) (A) (B) (C) (D) 5（A）、已知则 ． 6（A）、设，，则． 7（A）、设，又，则的定义域为． 8（A）、设，，均为非负数列，且，，，则必有（ ） (A) 对任意成立 (B) 对任意成立(C) 不存在 (D) 不存在 9（B）、设( ) (A)都收敛于 (B) 都收敛，但不一定收敛于(C)可能收敛，也可能发散(D)都发散 10（A）、当时，是( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界但非无穷小 (D) 无界但非无穷大 11（B）、设数列与满足，则下列断言正确的是（ ） (A) 若发散，则必发散 (B) 若无界，则必有界 (C) 若有界，则必为无穷小 (D) 若为无穷小，则必为无穷小 12（A）、在下列哪个区间内有界（ ） (A) (B) (C) (D) 13（A）、当时，，而，则正整数 ． 14（A）、对函数，点是（） (A) 可去间断点 (B)跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点 15（A）、． 16（B）、函数的可去间断点的个数为 17（A）、设，则该函数图象具有（B） (A)一