函数极限与连续自测题.docVIP

第一章 函数、极限与连续自测题 自测题（A） （一）填空题 1、函数的定义域为 ； 2、若的定义域为，则函数的定义域为 ； 3、设函数。当时，与为等价无穷小，则常数； 4、设函数，若且存在，则常数 ； 5、； 6、； 7、； 8、当常数时，函数在内连续。 （二）选择题 1、若，则当时，有（ ） A) 与为等价无穷小。 B) 与同阶但非等价无穷小. C) 是高阶的无穷小. D) 是比低阶的无穷小. 2、下述论断正确的是（ ） A）若数列适合：，则必有 B）若数列有界，则必存在。 C）若数列单调增加，则必存在。 B）若数列单调且有界，则必存在。 3、函数的定义域为（ ） A） B) C) D) 4、的值为（ ） A） B) 1 C) 0 D) 极限不存在。 （三）极限计算 1、 2、 3、 4、 5、 6、 （四）设函数在处连续，求常数。 （五）设，若存在，求常数。 （六）指出函数的间断点，并指出其所属类型。 （七）设函数，求与，并问是否存在？ （八）验证方程在内有唯一的实根。 自测题（B） （一）选择题 1、 A）； B）； C） 2 ； D） 3； 2、 A）； B）0； C） ； D） ； 3、，则 A）0； B）不存在； C）2； D）1； 4、若，则 A）2； B) 0； C）； D）1； 5、函数的连续区间为（ ） A）； B）； C）； D）； （二）填空题 1、当时，无穷小量与等价，则； 2、设在点连续，则； 3、设的定义域为，则的定义域为； 4、设，则； 5、。 （三）计算题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 （四）设是多项式，且，求。 （五）设函数，问在处是否连续？如果间断，指出间断点类型。 （六）设在闭区间上连续，且无零点，又知有一点，使，证明在上恒为负。 （七）设在上连续，，证明：至少有一点，使得：。（其中）。 自测题（A）答案 （一）填空题：1、；2、；3、；4、； 5、；6、；7、；8、。 （二）选择题：1、B；2、B；3、C；4、B。 （三）极限计算：1、；2、；3、；4、；5、6；6、。 （四）由题意：； （五）；，于是。 （六）可去间断点；第二类无穷间断点。 （七）不存在； （八）令，由于在上连续，，由零点定理方程在内至少有一个实根，另一方面，在内为单调递增函数，方程在内有唯一的实根。 自测题（B）答案 （一）选择题：1、D；2、C；3、C；4、A；5、B。 （二）填空题：1、2；2、2；3、；4、，；5、3。 （三）计算题：1、；2、1；3、；4、；5、；6、。 （四）由，及为多项式，可知：， 于是，由，可知 ，所以。 （五）在处连续；为第二类间断点；第一类可去间断点；连续。 （六）反证法：假定存在，使。由于在上无零点，帮。显然。不失一般性，设，从而，由于在上连续，帮必定在上连续，由于，由零点定理，方程在内至少有一个零点，从而在上至少有一个零点，矛盾。 （七）证明：讼，在上连续，且 ； 若，则结论显然成立；若，则，由零点定理，在内至少有一个，使，即。 1