函数极限与连续(学生版).docVIP

第一章 函数、极限与连续 考研大纲要求 1、函数的概念，函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、复合函数及分段函数的概念，反函数及隐函数的概念。 4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数的概念。 5、极限的概念，函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、极限的性质及四则运算法则。 7、极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，利用两个重要极限求极限的方法 8、无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 第一节 函数 一、基本概念 第二节 极限 一、基本概念 【注解】 【例1】极限是否存在？ 二、无穷小的性质 三、极限的性质 （一）极限的一般性质 1、极限 存在必然是唯一的 2、极限的有界性 （1）（数列极限的有界性）若存在，则数列有界，反之不成立 （2）（函数极限的局部有界性）设则在的去心领域内有界。 3、极限的保号性 4、列与子列极限的关系 若列极限存在，则其任意子列极限也存在且相等，反之不成立。 【例1】讨论的存在性。 【例2】求 （二）运算性质 1、四则运算性质 2、复合函数极限运算性质 （1）设，且，则 （2）设，，则 【注解】 （三）极限存在性质 准则一：夹逼定理 【例1】求 【例2】求 【例3】求 准则二：单调有界的数列必有极限 情形一：数列单调增加 【注解】 证明单调的方法有： （1）数学归纳法 【例】设，，证明：存在，并求 【例】设，，证明：存在。 四、两个重要极限 利用两个重要极限存在准则，可以得到在极限计算过程中非常重要的两个极限 第三节 连续与间断 一、基本概念 【注解】 【注解】： 3、间断点的分类 设在处间断，则 二、闭区间上连续函数的性质 【注解】 两个惯性思维： 【例1】设在上连续，在内可导，且，，证明：存在，使得。 重点题型讲解 题型一 极限的概念与性质 题型二 不定型极限的计算问题 思路分析 不定型极限计算分为基本不定型与非基本不定型，基本不定型包括：型、型、型；非基本不定型包括:型、型、型、型等，计算不定型极限注意如下几个原则： （1）先确定不定型的类型，若不定型为非基本不定型，一般先转化为基本不定型； （2）确定计算采用的方法，一般有：等价无穷小代替、罗比达法则、麦克劳林公式等； （3）恒等变形（基本的恒等变形法如提取公因式、拆项、合并、分子（分母）有理化、分子分母同除变量的最高次幂等，高级的恒等变形法如变量替换，也叫换元法等）。 对于数学计算，考生注意，计算之前先化简，这句话要牢记。 （4）解题过程熟练掌握如下套路： 遇到用；遇到用；遇到用； （5）当时，等五个函数中任两个函数之差为3阶无穷小，如：等。 【注】1、关于泰勒公式，需要考生记住以下要点： 2、常见的麦克劳林公式 【例1】计算下列极限 【例5】计算下列极限： 题型三 连加或连乘求极限 【思路分析】 连加或连乘求极限通常有如下三中方法： （1）先求和或积，再求极限。 （2）使用夹逼定理。 （3）利用定积分的定义。 【例1】求下列极限： 【例2】求下列极限： 【例3】求下列极限: 题型四 极限存在性问题 题型五 含参数的极限问题 【例1】设，求的值 【例2】设，求的值 【例3】设，求的值 题型六 中值定理法求极限问题 【例1】求 【例2】求。 题型七 含变积分限的函数极限问题 题型八 间断点及其分类 题型九 闭区间上连续函数性质 【例1】设且存在，证明在上有界 【例2】设在上连续，任取。证明：存在，使得