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函数一致连续性的判别 一.函数一致连续性的定义 1.函数一致连续性的概念 定义：设函数在区间有定义，若 有称函数在上一致连续。 例1.证明：函数在上一致连续。 证 ：由于，取=，则对任何，只要，就有，故函数在上一致连续。 例2. 证明：函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。 证 ： （1）由于，取，则对任意当时，就有，故函数在区间（其中为常数）上一致连续； （2），取，，虽然有 但，故函数在区间上非一致连续。 例3.（1）叙述于区间一致连续的定义;(2)设，都于区间一致连续且有界，证明：也于一致连续。 解： （1）若有称函数在上一致连续。 （2）由题设，有界，从而存在，使再由，都一致连续，则使且时有令则时， 所以在上一致连续。 例4.函数在上连续，又在上一致连续，，用定义证明：在上一致连续. 证： 由在上一致连续，故，存在 当 ，，且时，有 ① 同理，在上一致连续，对上述，存在， 当，且时，有 ② 令，则对，当且时， (1)若，由①式有 . (2)若，由②式也有 . (3)若，时，则， 所以. 从而得证在上一致连续。 例5.证明：在其中上一致连续，=在上不一致连续。 证:对取区间，当时，，由一致连续的定义知在给定的区间中一致连续。 （2）内取 取对任意的，只要n充分大总有 ，. 所以在上不一致连续。 例6．设函数定义在区间上。 用方法叙述在上一致连续的概念； 设,证明：在上一致连续； 证明：函数在上非一致连续。 解:（1） 设函数在区间有定义，若 有称函数在上一致连续。 （2），取，则当时， 所以在上一致连续. (3) 由 例5可知函数在（0,1）上非一致连续. 例7.用定义证明在上一致连续. 证 ：令=，先证在上一致连续. 设且 。 取，当且时，有 。即证在上一致连续。 二.函数连续性的康托定理判别及其推论 (1)康托定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续. (2)有限非闭区间的定理1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且与 都存在。 (3)有限非闭区间的推论1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且 存在。 (4)有限非闭区间的推论2：函数 在上一致连续的充分必要条件是 在 上连续且存在。 (5)组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数在上一致连续，若，则在上一致连续。 (6)无穷区间的定理1：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。 (7)无穷区间判别定理的推论：函数在上连续且和都存在。 (8)无穷区间的定理2：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。 (9)无穷区间定理2推论：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。 (10)类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。 (11)一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间X上的函数和，有成立，而在上一致连续，则在上也一致连续。 (12)一般任意区间上的判别法定理：设函数在区间上连续，且满足在上有界，则在上一致连续。 例1.（1）； （2）； （3）。 解：（1）在内连续，且 即都存在，故在一致连续。 (2)在内连续，且， 故一致连续。 （3）满足定理条件，故在区间内一致连续。 例2.若在上连续，存在，则在上一致连续。 证: 因为，由柯西准则，当s时，有. a 又由于在上连续，从而一致连续，故对上述，当，且时，有 b 取则且时，由a, b俩式知.此即证在上一致连续. 例3.求证：在上一致连续。 证：因为在上连续，又由罗比塔法则可证。由上题 得在一致连续。 例4．已知在上连续，证明：存在。 证： 由假设，对,都有 故当时，有由柯西准则知 存在。 例5.设在有限开区间上连续，证明：在上一致连续的充要 条件是及都存在。 证: 充分性，设, 规定 则在上连续，从而在上一致连续，所以在上一致连续。 再证必要性，由上题可证存在，类似上题可证存在。 例6.证明：如果一个函数在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数在闭区间里连续，并且对任何。 证：由例5可知存在，存在，令 则在里连续，且=， 例7.讨论在上的一致连续性。 解：因为 构造新函数 则在上连续，从而一致连续，所以在上连续，从而一致连续所以在上连续，所以在其上一致连续。 例8.若函数在区间I上满足利普希茨条件： 则在I上一致连续。 证：，取，则当且时 所以在I上一致连续。 例9.证明：函数在上一致连续。 证： 因为 ， 所以，， ，. 故单调递减， . , 所