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函数致连续性问题的思考山晓东
函数一致连续性问题的思考
山晓东
(包头师范学院数学系)
摘要 函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质。本文进一步分析了一致连续的本质意义以及一致连续性的运算法则的讨论。
关键词 连续,一致连续
1 定义
设函数在区间I连续,函数在点连续。根据连续定义:(满足连续定义的有无限多,取较大者)有.
从连续的定义不难看出,的大小,一方面与给定的有关;另一方面与点的位置也有关,也就是说当暂时固定时,因为点的位置不同,的大小也不同,如下图:
X
当暂时固定时,在点附近函数图像较“缓”对应的较大,在点附近函数图像较“陡”对应的较小。于是当暂时固定时有成立。对于无限多个,存在无限多个,那么无限多个中是否存在最小的呢?
一般说来,区间上的连续函数并不具有这种性质:对对区间上的任意一点,存在共同的即最小的使得点适合于连续性定义的要求。
就是说这是一种不同于连续性的新的性质,这种新的性质叫做一致连续性。
设函数在区间I上有定义,若对使对区间上的任意一点,当时恒有成立,则称函数在区间I上一致连续。
这里,哪个是哪个是,显然是无关紧要的。因此我们不加区分,而用来表示它们。这就是我们常见的一致连续性定义。
定义: 设函数在区间I上有定义,若对对区间I上的任意两点只要就有成立,则称函数在区间I上一致连续。
2 一致连续的条件
有了一致连续的定义,我们便可以考察满足什么条件的连续函数在其定义域上是一致连续的。最常见的莫过于闭区间上的连续函数了,我们有以下定理:
定理1:若函数在连续,则函数在一致连续。
下面我们把条件逐步减弱看有什么结果
2.1 有限区间上的连续函数的一致连续性的讨论。
由于在(0,1)非一致连续,证明如下:
有
这说明并非所有的有限区间上的连续函数都一致连续。那么需要满足什么条件才能一致连续呢?如下图:
Y
0 X
函数在(0,1)非一致连续的原因在于函数图像曲线在原点附近太“陡峭”了,以至于对于充分靠近原点的x没有通用的,那么是否函数在区间端点附近的图像“不太陡峭”(函数端点的极限存在)函数在其定义域就一致连续了吗?
我们有如下定理:
定理2:函数在一致连续的充要条件为在连续且与
都存在。
类似的可得如下结论:
定理3:函数在上一致连续的充要条件是在上连续且存在。
定理4:函数在 上一致连续的充要条件是在上连续且存在。
2.2无穷区间上的连续函数的一致连续性的讨论。
前面在有限开区间的讨论可知,若函数在区间内部连续,在区间端点极限存在,则函数在开区间一致连续,在无穷区间上有如下定理:
定理5:函数在R内一致连续的充分条件是在R内连续且与 都存在。
同理有:
定理6:函数在内一致连续的充分条件是在内连续且与都存在。
定理7:函数在内一致连续的充分条件是在内连续且存在。
定理8:函数在内一致连续的充分条件是在内连续且与都存在。
定理9:函数在内一致连续的充分条件是在内连续且存在。
注:定理5—9的条件都是充分条件,因为当函数在区间内部连续,在端点的极限不存在时,也存在在此区间上一致连续的函数。如y=x 与y=sinx都是端点的极限不存在,并且在R一致连续的函数。下面仅证明y=sinx在R的一致连续性。
证明: 时
要使得:
成立,只需即可。
本题得证
那么这两个函数在区间R上满足一致连续的根本原因又在哪呢?
判断函数在某一区间上是否一致连续的关键是看其是否存在使得在区间上任何一点都适用的通用的,而是否存在通用的与函数图像曲线在此区间上是否“陡峭”紧密相连,所谓曲线“陡峭”是指函数图像变化较快,也就是函数在这一区间的切线的斜率()越来越大,即随着点的变化当切线逐渐垂直于x轴()时,函数不存在通用的。
分析以上两个函数y=x 与y=sinx,函数y=x在R一致连续是因为其函数图像曲线在R上“不陡峭” 即存在,是有限数,而y=sinx在R一致连续是因为有界,所以其函数图像在R上“不陡峭”综合以上可得如下定理:
定理10:若函数在R上连续且在R上有界,则函数在区间R上一致连续。
证明:只要能找到满足时,有即可
由于函数在R连续且可导,所以在连续而且在可导,满足拉格朗日定理的条件。所以又因为函数有界,所以
要满足
同理有如下结论:
定理11:若函数在任意区
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