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第一章 函数的极限与连续 第一节 函数与极坐标 本节基本要求: 1.理解函数、复合函数和反函数的概念； 2.了解函数的几个初等性质； 3.掌握求函数定义域和函数值的方法，会把复合函数分解为简单函数; 4.牢记基本初等函数的定义、定义域、基本性质和图像特征。 初等数学研究对象：常量 高等数学研究对象：变量—在研究过程中往往不独立，且相互依赖。 函数，极限方法是研究变量的一种基本方法。 如：自由落体运动 一、区间和邻域 1、区间 区间分为有限区间和无穷区间两大类. 有限区间是指介于两个实数和之间的所有实数组成的集合，其具体定义如下. 定义1 (1)满足不等式的所有实数组成的集合，称为以a, b为端点的闭区间，记作； (2)满足不等式的所有实数组成的集合,称为以a, b为端点的开区间，记作； (3)满足不等式或的所有实数组成的集合, 称为以a, b为端点的半开半闭区间记作. 上述三种实数集合统称为有限区间.（其长度均为） 定义2 (1)满足不等式或的所有实数组成的集合，记作或； (2)满足不等式或的所有实数组成的集合，记作或； (3)满足不等式的所有实数组成的集合，记作. 上述三种实数集合统称为无穷区间. 注: 1.符号“”和“”分别读作“正无穷大”与“负无穷大”.它们不是数，仅仅是记号. 2.区间的表示 ①在数轴上，有限区间用有限线段来表示；而无穷区间用射线或整个数轴来表示. ②区间还有如下的表示法； ; ; ; ; . 2、邻域 定义3 设与是两个实数，且.数集称为点的邻域，记作，即 =, 点称为的中心，称为的半径. 注:1因为等价于.所以点的邻域还可以表示为开区间. 从数轴上看，点的邻域表示了以点为中心，长度为2的开区间，如图所示. 0 X 2.有时用到的邻域需要把邻域的中心去掉. 点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作，即 = 这里表示了. 0 X 例1.解不等式 解1. 解2. 综上，不等式的解为 例2.用区间表示下列不等式的所有x的集合 (1) (2) 例3.用区间表示点集,并在数轴上表示出来. 解: 二、函数 1、函数的概念 定义1：若D是的一个非空子集,设有一个对应规则f,使每一个,都有一个确定的实数y与之对应,则称这个对应规则f为定义在D的一个函数,或称变量y是变量x的函数，记为 数集D称为函数f的定义域，记为;叫函数的自变量，叫函数的因变量,而全体函数值的集合称为函数的值域,记为. 当时，有确定值，与其对应，称是函数在处的函数值。 在平面直角坐标系下,点集 称为函数的图像. 注:1.习惯上,我们常常只给出对应规则,而未指明其定义域.此时定义域是指按给定规则有一个确定实数y值与之对应的所有x值构成的集合. 2.函数的定义域可以用区间、集合或不等式(组)来表示.确定定义域时一般注意:①分母不为0;②开偶次方被开方数非负;③对数中真数要大于0. 3.单值函数：只有一个值（确定的值）与对应，（讨论） 多值函数：多于一个值（确定的值）与对应，（不讨论） 例1. 2、函数表示法 (1)表格法 (2)图示法 (3)公式法：用数学式子表示函数 例2. 例3.绝对值函数 例4. 例5.(取整函数) (不大于x的最大整数) 以上四个例子均为函数。其中例4,例5是分段函数.(在自变量的不同变化范围中,对应规则用不同式子表示的函数称为分段函数) 注:1.在用公式法表示函数时，若其定义域（存在域）是使这一式子有意义的自变量所取值的全体时，定义域可以省略不写，也称为自然定义域。 2.分段函数是用几个公式和起来表示一个函数,而不是表示几个函数,在实际应用中常用到这种表示形式 3.有些函数不能用上述三种方法来表示，只能给以描述，例如函数和函数。 3、函数的相等 定义2: 设函数,具有相同的定义域D，若，均有，则称函数与相等，记作. 注:两个函数是否相等只与函数的定义域、对应规则及函数值有关,而与自变量用什么字母无关. 例6.研究函数是不是相同的函数. 解: 不是相同的函数,因为定义域不同. 例7.判断下列各组函数是否相等 (1) (2) 解: (1)由于的定义域为，而的定义域为，故 (2)由于的定义域为，而的定义域为，故。 4、函数符号的使用 函数中的“”表示函数关系中的对应规则,即对每一个,按规则f 有一个确定的y值与之对应.; 表示将规则f 作用于x，如果把中括号内的x转换成中某个具体数值或表示数值的字母以及某个数学式子,则表示将规则作用于那个具体数值或表示数值的字母以及那个数学式子. 例8.已知 解: 例9.