函数项级数和幂级数.docVIP

第十章 函数项级数 引言 本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数。类比数项级数，要解决的主要问题是：对什么样的，有意义，在有意义的条件下，对应的和函数具有什么样的分析性质以及如何计算和函数。 §1 函数项级数及其一致收敛性 一、 定义 我们先给出函数项级数的定义。 给定实数集合X，设，是定义在上的函数，称无穷个函 数的和 为函数项级数，记为其中：称为通项，为部分和，也称为的部分和函数列。 类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题，显然，这和x点的位置有关，为此，先引入函数项级数的点收敛性。 定义1.1 设，若数项级数收敛，称在点收敛。否则，称在点发散。 注、显然，在点收敛，等价于函数列在点收敛，即 数列收敛。 注、定义给出了函数项级数在一点的收敛性，也称点收敛性，进一步可以将点收敛性推广到区间或集合收敛性。 定义1.2 若， 收敛，则称在上收敛。此时，， 都有意义，记，称为的和函数。 注、在上收敛是局部概念，等价于在中每一点都收敛。 注、在上收敛，等价于函数列在上收敛。显然，在收敛的条件下，有 。 例1 讨论函数项级数在上的收敛性，并在收敛的条件下求 其和函数。 解、任取，考察数项级数。 由根式判别法可知：，可知 绝对收敛，因而收敛，由的任意性，则，在 收敛。 利用等比数列的求和公式，则 ， 因而， 。 通过例1可知，借助于数项级数的收敛性，可以研究函数项级数的收敛性。 与函数项级数相类似的研究对象是函数列，函数项级数与函数列可以相互转化，事实上，给定函数项级数，得到对应的部分和函数列，而的敛散性也等价于的敛散性。反之，给定一个函数列，令，，得函数项级数，使得的部分和正是。二者的敛散性也等价。因此，可以将视为与等价的研究对象，因而，在后续的研究中，只以其中的一个为例引入相关的理论，相应的理论可以平行推广到另一个研究对象上。 下面，我们继续以函数项级数为例引入相关理论。 我们将函数项级数与数项级数进行简单的对比，可以发现：二者的形式上的区别在于通项结构上，数项级数的通项是仅与位置变量有关的常数，而函数项级数的通项是与位置变量有关的函数，正是这些简单的区别，却决定了函数项级数的研究内容要比数项级数的内容更加丰富，即除了研究“点”收敛之外，还要研究对函数的运算（如极限、微分、积分等）能否由有限过渡到无限，函数的性质（如连续性、可微性等）能否由有限过渡到无限，如：已知成立有限和的函数极限的运算性质 这个性质能否过渡到对无限和的函数运算也成立，即成立 ， 这实际是两种运算――求和和求极限的换序运算问题。 再如对有限和成立的微分和积分运算性质 ， ， 能否过渡到对无限和的运算也成立。再如，在收敛的情况下，和函数是否一定继承每个相应的性质，如每个，是否成立？ 有例子表明，不加任何条件，上述提到的问题的答案都是否定的，如：令，，则在收敛，且，故 ， 显然，或，但或。 当然，否定的结论不是我们希望的结论，因此，为使得保持更好的性质，必须引入更好的收敛性。事实上，从的点收敛的定义也可以看出其局限性，设在集合X上收敛，则对任意的，和在点收敛，由Cauchy收敛准则： 对，使得当时， ，对成立， 或 ，对成立， 显然，对不同的，也不同。正是由于在收敛的条件下，强烈依赖于x，显示了强烈的局部性质，使得每个的性质很难延伸到和函数上，也使得一些运算很难推广，要解决这些问题，关键是能否找到一个公共的，使得上式对所有都成立？这就是将要引入的一致收敛性。 二、 一致收敛性 定义1.3 设 在上有定义，如果，，当时， ，对，成立， 则称在上一致收敛。 也可用部分和函数列引入等价的定义。 定义1.4 给定函数列，若，，当时， ，对，成立， 则称在上一致收敛。 如果知道和函数，还可利用和函数定义一致收敛性。 定义1.5 设 （）在上收敛于，若，，当时， ，（）对成立， 则称（）在上一致收敛于，记为 （），在上。 注、一致收敛是整体概念。 注、一致收敛的几何意义：等价于当nN时，函数曲线都落在曲线和之间。 证明：在一致收敛。 证明：1）、计算和函数。任取，则 ， 故，。 2）、判断及验证。由于 ， 故，，，当时， ，对成立， 因而，。 注、类似于数列极限证明的放大法，证明也是利用放大法得到 的一个与x无关且单调递减收敛于0的界G（n）。 将上述证明思想抽取出来，得到如下判别法： 推论1.1设存在数列：，使得，，则在上。 再引入一个较弱的概念。 定义1.6 设为一区间，若，，称在上内闭一致收敛于。 显然，一致收敛性远强于点收敛性。正是如此，才保证一致收敛条件下和函数能继承很好的性质，也能保证函数性质由有限到无限的过渡。在研究这些