函数致连续性及其应用.docVIP

1 函数一致连续性[1] 设在定义在区间上的函数，若对任给，存在，使得对任意的、，只要，就有，则称函数在区间上一致连续. 1.1 函数一致连续的相关定理与证明 定理1.1[2] 若在区间上有定义，则在上一致连续的充要条件是 . 证明 ①必要性 因为在区间上一致连续,所以由定义知 ，对任意的，，只要 ，就有,故可得出. 因为当时，有 . 故可得. ②充分性 由于,所以，对任意的，只要，就有 . 故取，当，，时，可以得到 , 所以在区间上一致连续. 定理1.2[2] 函数在区间上一致连续的充要条件是在上任意两个数列，，只要使，就有 证明 ①必要性 因为在区间上一致连续,所以由定义知 ，对任意的，只要，就有 . 对于任意数列，，因为，故对上述有. 故可得，即. ②充分性（反证法） 假设在区间上不一致连续，则存在某，对任意，都存在相应的两点，尽管，但有. 令（n为正整数），相应的两点记为，尽管，但有. 当n取遍所有正整数时，得数列与，且有但是 , 这与条件矛盾，所以假设不成立. 因此可得在区间上一致连续. 定理1.3[3] 设函数在区间上可导，其导函数在区间上有界，则在上一致连续. 证明 因为在区间上有界，则有.对, ,就有,所以在上一致连续. 定理1.4[3] 函数在区间上一致连续的充要条件是对任意给出的，使得当时恒有有. 证明 ①必要性（反证法） 函数在区间上一致连续,所以，对任意的，只要，就有 即必有. 取，当时有. 令，则存在使得. 令，则. 不妨设,因为，且由连续函数的介值性知 使得同理：使得. 如此可得，规定且对每一个， . 因为由一致连续的定义知,所以与条件矛盾，假设不成立. 即使得当 时恒有 . ②充分性 使得当时恒有 . 取，若设必有即 . 故. 故有只要，就有 即在上一致连续. 1.2有限区间上的函数一致连续性 定理1.5[1] 函数在上连续，则函数在上一致连续. 证明（应用有限覆盖定理）由在上的连续性，任给，对， 都存在，使得当时有. 考虑开区间集合，显然H是的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集 覆盖了. 记,对任意的，必须属于中某开区间. 设即. 此时有. 故同时有和. 定理1.6[4] 函数在内一致连续的充分必要条件是在连续，且与都存在. 证明 ①必要性 若在内一致连续，则对任给，存在，使得对任意的，，且，就有. 此时对端点，当，满足时也有 , 于是. 由柯西收敛准则知存在. 同理可证也存在，从而在连续. ②充分性 因为在连续，且与都存在，补充定义，，所以在闭区间上连续. 由定理1.5知在上一致连续，故在连续. 推论 函数在（或）内一致连续的充分必要条件是在（或）连续，且（或）存在. 1.3无限区间上的函数一致连续性[5] 定理1.7 若函数在上连续，且，则函数在上一致连续. 证明 因为，则，，只要，就有 . 又因为在连续，由定理3知在上一致连续. 故对上述的，，对，有 . 综上,在上一致连续. 推论1 在连续，且与存在，则函数在内一致连续. 推论2 在连续，且与存在，则函数在内一致连续. 1.4函数一致连续性相关定理的应用 例1.4.1[6] 证明在区间上一致连续（M为任意整数），在上非一致连续. 分析 利用定义. 证明 ，，使得，，有 . 在区间上一致连续（M为任意整数）. 在上取两个数列,但是 . 在上非一致连续. 例1.4.2[6] 设，证明在上一致连续. (分析 利用定理1.1. 证明 对，有 所以在上一致连续. (分析 利用定理1.7. 证明 在上连续，且 所以在上一致连续 (分析 利用定理1.3. 证明 ，且在上 所以在上一致连续. 例1.4.3[7] 证明 在上非一致连续。 分析 利用定理1.2的逆否命题. 证明 在取两个数列 但是 所以由定理2知，在上非一致连续. 例1.4.4 设在上连续，且处处不为0，证明在上一致连续. 分析 利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理1.5和一致连续定义的灵活应用. 证明 在上连续，则在上一致连续. 故，对任意的，只要，就有 . 在上连续，所以使 . 因此，在上一致连续. 1.5 连续与一致连续的联系与区别 设函数在某内有定义，若，则称在点连续。若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。即对，，只要就有. 比较连续和一致连续的定义可知：前者的不仅与有关，且与点有关，即