函数项级数练习.docVIP

第10章（1） 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性 一 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列,介绍概念:收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“”定义. 例1 对定义在内的等比函数列,用“”定义验证其收敛域为,且 例2 . 用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴ . . ⑵ . . ⑶ 设为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷ . , . ⑸ 有, , . （ 注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上,.试问:通项的解析性质是否必遗传给极限函数?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义1 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列在数集D上一致收敛, . ( 介绍另一种形式.) 证(利用式) 易见逐点收敛.设,……,有 .令, 对D成立,即,，D. Th2 在D上,. 推论 设在数集D上,.若存在数列D,使 , 则函数列在数集D上非一致收敛. 应用推论判断函数列在数集D上非一致收敛时,常选为函数― 在数集D上的最值点. 验证函数一致收敛性: 例4 . 证明函数列在R内一致收敛. 例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有, 在点处取得极大值,. 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在内, . 证 易见 而 在内成立. 由系1 , …… 例7 对定义在区间上的函数列 证明: , 但在上不一致收敛. 见教材. 证时,只要,就有.因此,在上有. .于是, 在上有.但由于,,因此, 该函数列在上不一致收敛. 例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性: ⑴ ; ⑵ . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1． 函数项级数及其和函数：, 前项部分和函数列，收敛点，收敛域, 和函数, 余项. 例9 定义在内的函数项级数(称为几何级数) 的部分和函数列为 , 收敛域为. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th3 (Cauchy准则)级数在区间D上一致收敛, ,D 或. 推论 级数在区间D上一致收敛 , . Th4 级数在区间D上一致收敛于 . 例10 几何级数在区间上一致收敛；但在内非一致收敛. 证 在区间上,有 一致收敛; 而在区间内, 取, 有 ,非一致收敛. (亦可由通项在区间内非一致收敛于零非一致收敛.) 几何级数虽然在区间内非一致收敛,但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数在区间内闭一致收敛 . §2 一致收敛性的判别与性质: M-判别法: Th5 ( Weierstrass判别法)设级数定义在区间D上,是收敛的正项级数.当充分大时,对D有|,则在D上一致收敛. 证 然后用Cauchy准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为:若级数在区间D上存在优级数,则级数在区间D上一致收敛.应用时,常可试取.但应注意,级数在区间D上不存在优级数级数在区间D上非一致收敛. 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例11 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性. 例12 设是区间上的单调函数. 试证明:若级数与都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致收敛 . 简证 , 留为作业. .…… 2. Abel判别法: Th 5 设ⅰ 级数在区间上收敛; ⅱ 对每个,数列单调; ⅲ 函数列在上一致有界, 即,使对和,有. 则级数在区间上一致收敛 . (见教材) 3. Dirichlet判别法