函数项级数致收敛的判别法作者艾斯凯尔.docVIP

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号 学士学位论文 函数项级数一致收敛的判别法 学生姓名： 艾斯凯尔· 海力麦提 学 号： 20050101041 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-3班 指导教师： 托合提·赛都拉 完成日期： 2011 年 4 月 30 日 摘要 函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题，函数级数和函数的分析性质一致收敛有关. 因此本论文中提出了函数级数一致收敛的柯西一致收敛准则，魏尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，精细的狄尼（Di ni）定理，确界判别法，导数判别法，比试判别法，根式判别法等几种重要判别法，并应用函数项级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则和M判别法给出了论文中所有结论的证明. 关键词：一致收敛性，收敛，单调，一致有界，收敛准则，绝对收敛，聚点定理 .  目　录 摘要 1 引言 1 1.函数项级数定义 1 2.函数项级数一致收敛的几种判别法 2 判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) 2 函数项级数一致收敛的几何意义 3 判别法2 (确界判别法) 4 判别法3 (柯西一致收敛准则) 5 判别法4 (M判别法) 7 判别法5 (狄利克雷判别法) 9 判别法6 11 判别法7 12 判别法8 13 判别法9 14 判别法10 16 判别法11 16 判别法12 17 判别法13 18 判别法14 (导数判别法) 20 判别法15 (比试式判别法) 21 判别法16 (根式判别法) 21 判别法17 22 判别法18 22 判别法19 22 判别法20 24 总结 26 参考文献 27 致谢 28 引言 函数项级数一致收敛的条件下，可以讨论和函数连续性，可微性，可积性.函数项级数一致收敛时可以交换无穷和与导数,无穷和与积分的次序,通过交换不同的两种运算能够解决函数项级数概念中的最基本问题,即利用函数项级数的一致收敛性我们可以求出函数的和函数.因此,本论文中全面讨论函数项级数一致收敛的条件. 1.函数项级数定义 定义 设是定义在数集E上的一个函数列表达式: (1) 称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为或. 称为函数项级数(1)的部分和函数列. 若函数项级数: (2) 收敛,即部分和,当时,极限存在,则称级数(1)在点收敛,称为收敛点. 级数(1)在D上的每一点与其所对应的数项级数(2)的和构成一个定义在D上的函数称为级数（1）的和函数，即. 2.函数项级数一致收敛的几种判别法 判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) 设函数级数在区间收敛于和函数，若有: 则称函数级数在区间上一致收敛或一致收于和函数. 例1 证明函数项级数在区间 (其中)一致收敛. 证明 有. . . 对,对要使不等式成立. 从而要不等式解得.取.于是,存在,有: 成立. 所以函数项级数在区间(其中)一致收敛. 非一致收敛的定义 设函数项级数在区间非一致收敛于和函数，若，,有：成立. 则称函数项级数在区间上非一致收敛或非一致收敛于. 例2 证明函数项级数在区间 非一致收敛. 证明 ，，有： . 即函数项级数在非一致收敛. 函数项级数一致收敛的几何意义 函数项级数在区间一致收敛于的几何意义是,不论给定的以曲线为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数(通用的),,任意一个部分和的图像都位于这个带形区间内(如图1). 若函数项级数在某个区间不存在通用的,就是非一致收敛. 判别法2 (确界判别法) 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件： . 证明 () 已知函数项级数在区间一致收敛于.即有: . 从而,即. ()已知,即有. 从而有.即函数项级数在区间上一致收敛于. 例3 证明 函数项级数在内一致收敛. 证明 ; . . . 所以函数级数在内一致收敛. 判别法3 (柯西一致收敛准则) 函数级数在区间一致收敛 有： . 证明 必要性已知函数级数在区间一致收敛. 设其和函数是，即有也有.于是 . 充分性：已知，有: 所以当时上述不等式有: 即函数项级数在区间一致收敛. 例4 讨论