函数项级数的致收敛性与非致收敛性判别法归纳.docVIP

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳 一 定义 引言 设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正数，使得当时，对一切，都有 则称函数列在上一致收敛于，记作 ， 设是定义在数集上的一个函数列，表达式 称为定义在上的函数项级数,简记为或；称 , , 为函数项级数的部分和函数列． 设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项． 定义1　设是函数项级数的部分和函数列，若在数集上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛于，或称在上一致收敛． 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义． 定义2　设是函数项级数的部分和函数列，函数列，和函数都是定义在同一数集上，若对于任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛． 同时由，故在上一致收敛于0． 定义3　设函数项级数在区间上收敛，其和函数为，部分和函数列，若，，及，使得，则函数项级数在区间上非一致收敛． 例1　试证在上一致收敛，但在内不一致收敛． 证明　显然在内收敛于． 对任意的，欲使当和时，恒有 成立,只要当时,恒有 成立,只要当时,恒有 　　　　　　　　 成立,只要当时，恒有 成立，只要取即可．依定义，在上一致收敛于． 存在，对任意自然数，都存在和，使 成立，依定义，在内不一致收敛． 二 函数项级数一致收敛性的判定方法 定理1　Cauchy一致收敛准则 函数项级数在数集上一致敛的充要条件为： 对，总，使得当时，对一切和一切正整数，都有 　　　　　　　　　　　　 或 　　　　　　　　 或　　　　　　　　　　　　　 特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件： 推论1　函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在 上一致收敛于． 定理2 函数项级数在点集上一致收敛于的充分必要条件是： 　　　　　 ． 定理3　放大法 是函数项级数的部分和函数列,和函数,都是定义在同一数集上,对于任意的,存在数列,使得对于,有,且,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数. 证明　因,故对任给的,(与无关),使得当时,对一切,都有.由定义2得函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于. 注:用放大法判定函数项级数一致收敛性时,需要知道. 定理4　确界法 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是 证明　充分性　设是函数项级数的部分和函数列, 为和函数,则有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函数项级数一致收敛于函数. 必要性 注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题． 定理5　若在区间上收敛,则在上一致收敛的充要条件是,有. 证明　充分性　假设在上不一致收敛,则,,使得,如此得到,但,这与已知条件矛盾. 必要性　因已知在上一致收敛,所以,使得当时,对一切,都有,对于,则有,即,得. 例2　，，在上连续，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于． 证明　已知（其中）是单调递减且趋于0，所以有，且0,时,有. 将固定,令,因为在上连续,既然,所以,当时, .从而时更有即,仅当. 如上所述,对每个点,可找到相应的领域及相应的,使得时,对恒有. 如此{:}构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{},于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于. 定理6　判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法 设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则函数项级数在上一致收敛. 证明　由假设正项级数收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,,某正整数,使得当及任何正整数,有又由(3)对一切,有 根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数在上一致收敛. 注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛的函数项级数失效. 例3　函数项级数在上一致收敛,因为对一切有,而正项级数是收敛的. 推论2　设有函数项级数,存在一收敛的正项级数,使得对于有,则函数项级数在区间一致收敛 证明　已知,即有即,从而,又因为收敛,则也收敛,由判别法得函数项级数在区间一致收敛. 由广义调和级数,当时