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分段函数的若干问题研究
本科生毕业论文
题 目 分段函数的若干问题研究 系 别 数学与应用数学 班 级 112班 姓 名 张伟 学 号 104131231 答辩时间 2015年5月 新疆农业大学数理学院
目 录
摘要 1
1 分段函数的基本定义 2
1.1 基本定义 2
1.2 定义域、值域 3
1.3 性质 3
1.3.1 分段函数的单调性 3
1.3.2 分段函数奇偶性的判断 4
1.3.3 分段函数周期性的判断 4
1.4 分段函数的特点 5
2 分段函数连续性、可导性和可积性 5
2.1 分段函数连续性 5
2.2 分段函数在分段点处的可导性 6
2.2.1 基本定理 6
2.2.2 导数的计算方法 7
2.3分段函数的可积性 9
2.3.1可积性与原函数的存在性 9
2.3.2 不定积分的求法 10
2.3.3定积分的例子 11
3 其他计算问题 13
3.1幂级数 13
3.2微分方程 15
3.3 二元分段函数连续性问题 15
4 结论 15
参考文献 16
谢 辞 17
分段函数的若干问题研究
张伟 指导教师:程霄
摘要:函数是高等数学的一个重要内容,而分段函数又是函数中的一个难点。在自然科学与工程技术中,经常会遇到分段函数。本文从分段函数的基本性质入手,分析了分段函数的特点。进而重点总结了分段函数在分段点外的连续性,可导性,可积性等重要性质与计算方法。同时,还探讨了的分段函数的其它若干计算问题。
关键词:分段函数;连续性:可导性;积分运算
函数是高等数学的一个重要内容,而分段函数又是函数中的一个难点。一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍,并不对分段函数进行严格地定。对其特征、性质等都没有作出任何说明;并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理,也没有明确指出。正是由于上述原因,对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。因此,应适当地加强分段函数的讨论,在相关知识中融人分段函数的内容,并给出较详细的说明。这样做,既有利于对函数的概念、性质等问题的理解以及函数思想的形成与培养,也有利于提高和加强分析问题和解决问题的能力。
1 分段函数的基本定义
1.1 基本定义
所谓分段函数,是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式表示,而是用几个不同的解析式来表达的函数,有时可能要用无穷多个解析式。对于自变量的不同的取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数,而不是几个函数;分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。分段函数一般定义为:设是一个区间:
则称为上的分段函数。
由于数学分析中遇的分段函数,每个都是上的初等函数,所以和初等函数一样我们可以去讨论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质。由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式来表示的,所以它们经常具有某些独特的性态,这也正是我们所关注的。特别在函数解析表达式的分段点处,是出现这类独特性态的敏感点,因而是讨论的重点.通过对分段点的讨论可以论证函数的一些典型的或重要的性质。
例如,为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质,在数学分析中给出了黎曼函数,并证明它在有理点处都不连续,在无理点处都连续。
(黎曼函数)
1.2 定义域、值域
因函数的定义域是自变量的取值集合,值域是因变量的取值集合,所以,分段函数的定义域即为每段上自变量取值范围的并集。值域为每段上因变量取值范围的并集。
例1:求函数 的定义域及值域。
解:的定义域是不等式解集的并集,值域为的并集。
故:的定义域为:
值域为:
1.3 性质
1.3.1 分段函数的单调性
对于分段函数的单调性的判别,要分段分区间找出函数的单调区间。在分段点左右两边单调性一致时,还要根据分段点处的函数值及左右两区间的函数值的大小判断两区间是否可并为一个区间。
例2:求函数 单调区间。
解: 在区间上函数为减函数,上函数为增函数。
在区间上函数为增函数
在区间上函数为减函数
又在区间上函数单调性一致,且在分段点两侧,右边函数值总比左边函数值大,故在区间上函数单调性一致
所以,函数的单
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