初等几何研究作业参考答案.docVIP

《初等几何研究》作业参考答案 一．填空题 1．①射线（或半直线），②。 2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。 3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。 4．①平移，②旋转，③轴对称. 5． 。 6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。 7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一. 10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11． .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A、B、C及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆. 17．（或－1）. 18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备. 20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21．对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至少有两条过A与a不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。 24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题 1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M中都成立，则称M为公理系统∑的一个模型； 2．①若AB≡，则d(AB)=d()； ②当时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。 4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等. 6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。 8．线段“合同”的概念是由公理引出来的，线段“长度”的概念是以定义的形式引出来的。 9．不可以。问题出在第二步“设⊿ABC的内角和为x” 。设任何三角形的内角和都相等是不对的。 10．刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性； 11．一共有5条.这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关. 12．介于关系，合同关系. 三．轨迹问题 1．已知：BC是定线段，l是过B点的定直线，A是l上的动点，O是⊿ABC的外心，MN是BC的中垂线，求证：O的轨迹是MN. 完备性：O是⊿ABC的外心，则OA=OB=OC. 又∵MN是BC的中垂线，∴O点必在MN上. ②纯粹性：在MN上任取一点O,作OP⊥l, 在l上取点A,使PA=PB, 则OP是AB的中垂线. OP与MN的交点O是⊿ABC的外心， 即MN上的任意点都符合条件. ③结论：由①②可知，⊿ABC的外心O的 轨迹是BC的中垂线MN. ④讨论：若A与B重合, 则⊿ABC不存在，外心也就不存在. 过B作l的垂线交MN于Q, 虽然Q点不符合条件，但Q点周围的任意点都符合条件, 即MN上除Q点外都符合条件. 2．①探求：设点M满足条件，即MA:MB=m, 则M关于AB的对称点M’也满足条件； ∵轨迹是一个圆，∴圆心一定在直线AB上. 又∵AB上还有两点C,D满足条件, 即CA:CB=DA:DB=m, ∴轨迹应是以CD为直径的圆. ②完备性：即由MA:MB=m证明M在CD为直径的圆上. ∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD分别为⊿ABM的内角和外角平分线, ∴MC⊥MD. ③纯粹性：即对CD为直径的圆上任一点M证明MA:MB=m. 作MB关于MC的对称线，交AB于A’. ∵MC⊥MD, ∴MC, MD是∠A’MB的内、外角平分线， 因此， 由CA:CB=DA:DB=m可知 ，即CA’=CA. 又A’与A在C同侧 ，∴A’与A是同一点，因此得MA:MB=m. ④下结论：满足命题条件的点的轨迹, 是以CD为直径的圆周. ⑤讨论: m=1，轨迹是AB的中垂线；m1, 圆在左侧； m1, 圆在右侧. 3．探求：A点轨迹是以BC为弦的弓形弧， ∵∠1=∠2=α/2是定值， ∴D的轨迹也是以BC 为弦的弓形弧.