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第一章 集合论 一 基本概念 1 集合的分类：按照元素个数的多少，分为有限集和无限集。 有限集合：由有限多个元素组成的集合 无限集合：由无限多个元素组成的集合 无限集又分为可数集与不可数集。 2 集合的基数（或势）：集合的元素的个数 3两个集合同势（或对等）：设A、B是两个非空集合，如果存在A到B的一个一一对应，则称集合A与B对等或同势。 4 可数集合：和正整数集对等的集合 不可数集合：不和正整数集对等的集合（或不是可数集的无限集合） 5连续统的基数：集合（0，1）的基数 集合（0，1）的基数比正整数集的基数大 6 阿列夫与阿列夫零：正整数集的基数记为 集合（0，1）的基数记为 7 代数数：若一个实数或复数是某一个整系数方程的根，称这个数为代数数 超越数：不是代数数的实数。例如：e， 8 罗素的理发师悖论 二 基本定理（是什么、会证明） P26-30 定理1－5 定理1：任何无限集合都至少包含一个可数子集。 定理2：可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集的任何子集或者是有限集或者是可数集。 定理3： 可数集与可数集的并集还是可数集；可数集与有限集的并集还是可数集 定理4：全体有理数组成的集合是可数集 定理5：（0，1）内全体实数的基数比的基数大 三 典型例题 书P21－25 例1－例8 课后习题：P41－42 2，3，4，5，6，7 书P41 2 有人说：“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？请分析说明。 解：设此人为元素a，设所有说谎人组成的集合为A。 1）若，则此人说的句句为谎话。他现在说“我在说谎”，则这句话也是谎话，即他没有说谎，则。矛盾。 2）若，则此人说的句句为真话。他现在说“我在说谎”，则这句话也是真话，即他说谎了，则。矛盾。 综上，这是一个“谎话悖论”。 3作出下列集合的一一对应 （1）（－1，1）到(－，＋)： （2）正整数集到整数集Z： （3）（0，1）到（a,b）： （4）（0，1）到实数集(－，＋)： 书P42 6 求集合的所有子集的元素和的和 解：集合的所有子集的个数为个， 集合的所有子集的个数为个， 故含有元素1的集合的个数为－＝个 同理，含有元素2，3，…，100的集合的个数都为个 则集合M的所有的子集的元素的和的和为： （1＋2＋3＋…100）×＝5050× 书P42 7 证明：由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A为至多可数集 证明：直线上每一个开区间至少包含一个有理数，不妨在每一个开区间内取一个有理数，因为这些开区间互不相交，则从这些开区间内取出的有理数也各不相同。设这些有理数构成的集合为B，则B为有理数集的一个子集。集合A与B建立了一一对应。因为有理数集是可数集，根据P27定理2，可数集的任何子集或者是有限集或者为可数集，则B为至多可数集，则A也为至多可数集。 第二章 非欧几何 一 基本概念 1欧几里德著的《几何原本》由最初的23个定义、5条公设和5条公理出发，推出了286个命题，建立了一个严密的几何学的公理体系。 2 欧氏几何第五公设：若同一平面内一条直线与另外两条直线相交，当有一侧的两个同侧内角的和小于两直角和时，则这两条直线就在这一侧相交。 3 欧氏几何于公元前3世纪由古希腊数学家欧几里德创立、罗氏几何于1826年2月23日由俄国数学界罗巴切夫斯基创立、黎曼几何于1854年由德国数学家黎曼创立。 4 关于几何论证的方法，欧几里德提出了分析法、综合法和归谬法（或反证法） 5几何学的研究对象：一是基本对象（即元素）；二是基本关系（即元素之间的关系）。 6公理系统：几何的若干基本概念（基本对象和基本关系）和若干公理的集合。（可用来表示） 7 几何公理法的基本思想：在公理系统的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明。 8公理系统的三项基本要求：相容性、独立性和完备性。（各自的定义、要求） 9 1）公理系统是相容的：若由公理系统不可能推导出两个相互矛盾的命题。 2)证明公理系统相容性的方法：构造模型的方法 3）公理系统是独立的：即公理系统的任一条公理都不能由其余公理推导出。 4）独立性要求：在保留同样多的推论或命题的前提下，公理系统所含的公理的个数要最少。 5）公理系统是完备的：若公理系统的所有模型都同构。 6）两个模型是同构的：若公理系统的两个模型、的对象之间可以建立一一对应，使得对应的对象之间有同样的关系，称公理系统的两个模型是同构的。 7）完备性要求：确保从公理系统能够推导出所论数学分支的全部命题，使得建立几何命题时能够纯粹按逻辑的推理进行，而无需再用到直觉。 10 任何一个公里系统必须是相容的，但未必是独立的和完备的。 11希尔伯特的几何公理化系统（书P63 图表）