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判断无穷积分的收敛性。 解 根据不等式， 得到 ， ； 从而 绝对收敛，因而收敛， 再根据是条件收敛的， 由， 可知积分收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设，是的实根， 求证：，且。 证明 （1）任意，当时，有； 当且充分大时，有，所以的根存在， 又，严格递增，所以根唯一，。 任意，，所以的根，（）。 因为若时，的根，不趋向于。 则存在，使得中含有的一个无穷子列，从而存在收敛子列，（为某有限数）； ，矛盾。 例、 设，讨论级数的收敛性。 解 显然当时，级数发散； 由 ， 得，（充分小）， 于是，（充分大） 当时，，收敛， 收敛，， 收敛，绝对收敛； 当时，收敛，收敛， 于是收敛，从而收敛，收敛， 而发散，由，得发散，所以发散， 故此时条件收敛。 当时，发散，而收敛，此时发散。 北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。 证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。 命题：若在上连续，且，那么必然存在一点， 满足。 采用反正法，若对于任意点，有，那么显然对于任意，仍然有。 由于的连续性，我们对于任意一点，可以找到一个邻域，使得在中保号，那么区间被以上形式的，开区间族所覆盖， 由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间就能覆盖闭区间，再由覆盖定理的加强形式可得，存在，满足当，时，存在中的某个开集同时覆盖。那么我们就证明了当时，有同号； 现取正整数，满足，令，，那么我们有，与同号，从而证明了与同号，即与同号，这与题目中的矛盾，证明完毕。 2、 设在有限区间内一致连续，证明：也在内一致连续。 证明 首先证明都在上有界，因为在有限区间内一致连续，从而存在，满足当此，时，有 ， 现取正整数，满足，令，； 对任意，存在，使得 ， ， 即得在上是有界的； 同理在上也是有界的； 下面证明，若在区间上有界，且都一致连续，则在区间上一致连续。 设，满足，; 那么由得一致连续性得到， 对于任意，存在，使得当，时，有 ， 从而 ， 即得在上一致连续。 3、 已知在上有四阶导数，且有， 证明：存在，使得。 证明 不妨设 （这是因为否则可以考虑，而的三、四阶导数与的相同）。从而我们要证明存在，使得。 下面分两种情形来证明之， （1），当，由带Peano余项的Taylor展开式，我们得到 ， 那么在足够小的邻域内有，取，满足，不妨设，由于，那么存在，使得， 从而取，； 当时，同理可得； （2），那么有，，可以同样Taylor展开， ， 做法与（1）相同，证毕。 4 、构造一个函数在上无穷次可微，且，，并说明满足条件的函数有任意多个。 解 构造函数项级数 ， 显然此幂级数的收敛半径为，从而可以定义函数： ， 容易验证此函数满足：，， 考虑到函数， 由我们熟知的结论知，在上无穷次可微，且，， 对任意在上无穷次可微的函数，从而也满足题目要求条件， 结论得证。 5 、设，是上的连续函数，证明满足的点有无穷多个。 证明 设 ， 。 那么我们有， ，， 下面分两种情况讨论： 若或有一个成立时， 当，我们有，， 从而有，，从而为常数，此时结论显然成立； 当时，我们有，， 从而为常数，此时结论显然成立； （2） 我们可以选取无穷多条连接和的不相交的连续曲线 ，； 显然连续，， 由连续函数的介值定理，存在，，使得 ， 即，结论得证。 6 、求，其中是，方向向上。 解法1 设， ， ； ； 。 解法2 记， ， 利用高斯公式，得 。 7、 设是上的连续函数，试作一无界区域,使在上的广义积分收敛。 解 首先取，使得，满足 ； 再选取，使得，满足 ； 依次选取，使得，满足 ， 取，是一个无界区域，可以验证在上的广义积分收敛。 8、 设，讨论不同的对在上积分的敛散性。 解 显然在时，发散，下面只对时讨论。 由， 当时，收敛， 时，发散， 当时，发散； 时，收敛； 当时，收敛； 所以（1）当时，由， 得绝对收敛； 当时，，（充分大）， 收敛，，由于发散， 此时，发散，于是发散， 而，收敛，收敛； 故当时，条件收敛； （3）时，