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第六章 多元函数微积分学（下） 本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。 第一节 多元函数微分学 多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。 【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。 【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。 在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。 在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。 【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。 一、多元函数微分学的基本概念及其关系 定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点(x,y)以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。 定义2 如果连续。 如果在区域D上每一点都连续，则称在区域D上连续。 定理1 最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。 定理2 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。 定义3 偏导数的定义 设函数的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，记作 即 . 类似地，函数的偏导数定义为 . 定义4 如果二元函数z=f(x,y)在区域D的每一点(x,y)处都有偏导数，一般地说，它们仍是x,y的函数，称为f(x,y)的偏导函数，简称偏导数，记为 定义5 高阶偏导数 如果二元函数 仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作 其中称为混合偏导数，类似地可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。 定理3 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关。 定义6 全微分 设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，当f(x,y)的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于，而仅与x,y有关，，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，称为函数f(x,y)在点（x,y）处的全微分，记作 定理4 若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则必在(x,y)处连续。 定理5 可微的必要条件 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且。 又对于自变量x,y有 定理6 可微的充分条件 如果函数z=f(x,y)的偏导数 连续，则函数在该点可微。 偏导数的几何意义：设有二元函数 在几何上分别表示曲线的切线对x轴和对y轴的斜率。 【考点七十一】（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解。 （2）当点沿着不同的路径趋于点时，若函数的极限值不同，则二重极限 不存在。 【例1】求下列二重极限： （1） （2） （3） 【考点七十二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系： 可微偏导数存在，但偏导数存在. 可微连续，但连续，连续偏导数存在。 若一阶偏导数连续，则可微。 【例2】考虑二元函数的下面4条性质： ① ② ③ ④的两个偏导数存在。 若用“”表示可由性质P推出性质，则有（ ） （A）②③① （B）③②① （C）③④① （D）③①④ 【例3】二元函数 存在，是在该点连续的（ ） （A）充分条件而非必要条件。 （B）必要条件而非充分条件。 （C）充分必要条件。 （D）既非充分条件又非必要条件。 二