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北京航空航天大学数值分析考研真题
北京航空航天大学2005年博士研究生入学
数值分析考试试题
一、选择题（每题1分）
1．某数值方法算得的值为，则具有( )位有效数字
A. 1 B. 2 C. 4 D.5
2．函数与在区间上（ ）
A. 线性相关 B. 线性无关但不正交
C. 正交但非标准正交 D. 标准正交
3．用Euler折线法解初值问题，取步长，算得( )
A. B. C. D.
4．设，则的用范数定义的条件数（ ）
A. B. C. D.
5．用迭代法解方程，若可导且，则当满足（ ）时，该迭代过程一定收敛
A. B.
C. D.
二、填空题（每空格1分）
1． 则 n 阶差商=
2．求次数不超过3次，且满足下列条件的插值多项式：
x 0 1 2 3 f(x) 1 1 1 f’(x) 0
该插值多项式为
3．设
是[0,3] 上的三次样条函数，则 a= b=
c=
三、计算证明题：
1．（10分）
数值积分公式形如：
确定求积公式中的系数 A、B、C、D 使其代数精度尽可能高。
2．（15分）
求解常微分方程初值问题
的Runge-Kutta公式如下：
证明：对于任意参数，该方法的局部截断误差是；
对于常微分方程
用上述方法,取 迭代1步。
3．（15分）
带原点平移的QR方法为：从 出发，作
其中 为n阶矩阵，I 为n 阶单位阵，为n阶上三角阵，为n阶正交阵，的第n行n列的元素）为平移参数。
证明: 相似
若 , 用带原点平移的QR方法求A 的全部特征值
4．（15分）
设 求 f(x) 在 [1,2] 上的二次最佳平方逼近多项
式。并求均方误差。
5．（15分）
方程 解的迭代格式为
证明：对任意初值,上述迭代格式收敛。
求最小的n ,使得
对上述方程的解构造Newton 迭代格式，判断它对任意初值
是否也收敛。
6．（20 分）
设线性方程组
写出该方程组的Jacobi迭代法和SOR迭代法的计算公式；
确定为何值时
Jacobi 迭代法收敛
Gauss-Siedel 迭代法收敛
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