北大附中高考数学专题复习概率与统计经点答疑.docVIP

学科：数学 教学内容：概率与统计经点答疑（二） 5．怎样由总体密度曲线来计算连续型随机变量的概率分布? 经过上面几个问题的讨论我们了解了离散型随机变量，并学会了计算离散型随机变量的分布列．但是在解决实际问题时除了应用离散型随机变量，我们还会用到连续型随机变量，这两种不同类型的随机变量在研究的方法上存在巨大差异． 什么是连续型随机变量呢?直观地讲，就是这种随机变量的取值不再是一些离散的点而是某些区间，甚至是整个数轴，比如，零件的尺寸、农作物的产量、水库的水位等等． 因为连续型随机变量不是可一一列举的，所以其概率规律性也就不能用分布列来刻画．那么怎样去研究连续型随机变量取值的规律性呢?这就引出了课本中讲述的“总体密度曲线”这个概念．设ξ表示一个连续型随机变量，我们的目的是掌握ξ取值的规律性．由于我们不能逐点去讨论它的取值情况，[注：因为连续型随机变量的取值是实数轴的某个区间，而在实数轴上任何两个相异点之间总包含无穷多个点，所以采用逐点讨论的办法就行不通了．]所以我们转向讨论随机变量ξ在某个给定的区间(a，b]上取值的情况．如果对于任何的区间(a，b]我们总能确定出P(aξ≤b)的值，我们也就掌握了随机变量ξ的取值规律． 在我们还未具备研究连续型随机变量要使用的微分、积分等知识之前，我们只能讨论一些简单的连续型随机变量的概率分布．对于连续型随机变量，我们一般是根据它的概率密度函数f(x)来计算变量ξ在某一区间上取值的概率分布．在具体计算时我们采用函数和函数图象对应的方法．先画出f(x)的图象，然后看f(x)的图象在给定的区间(a，b]上所围的面积．这个面积的数值就是连续型随机变量在给定的区间(a，b)引上取值的概率． 常用的连续型随机变量的概率分布有均匀分布、指数分布和正态分布等．这三种分布的概率密度函数及总体密度曲线如图1-l所示： 例 已知随机变量ξ的概率密度函数为： (1)画出随机变量ξ的概率密度曲线． (2)求出ξ落在区间(0.2，0.8]内的概率． 思路启迪 易知函数f(x)的图像是一条过原点的线段，而ξ落在区间(0.2，0.8]内的概率就是f(x)的图像在区间(0.2，0.8]内包含图形的面积． 规范解法 (1)f(x)的图象如图1—2所示． (2)根据f(x)的图象可知P(0.2ξ≤0.8)是图中阴影部分梯形的面积，易得 P(0.2ξ≤0.8) ＝0.6， 所以ξ落在区间(0.2，0.8]内的概率为0.6． 6．期望和方差各是什么? 在实际问题中，除了离散型随机变量的分布列之外，我们有时还要了解随机变量更多的特征．期望和方差就是用来刻画随机变量数字特征的重要参数．期望主要用来描述随机变量的平均取值情况，而方差则用来描述随机变量的取值对于平均值的离散程度．作为随机变量重要的数字特征，期望和方差直观、综合地反映出了变量取值的大致情况，在实际中具有广泛的应用． 先来看期望，期望有时又称为数学期望或平均数等等．它表明了随机变量取值的平均水平，我们用下面的例子来引出数学期望的数学定义． 一个车间共有5台机床，对于这些机床，由于各种原因，时而工作，时而停止．因此任一时刻工作着的机床数目是一个随机变量，为了精确估计该车间的电力负荷，我们需要知道车间中同时工作着的机床的平均数目． 假定我们进行了20次观察，结果如下表所示： 工作着的机床数目 0 1 2 3 4 5 频数 0 0 1 2 6 11 频率 0 0 表1-13 因此，该车间中同时工作着的机床的平均数目为： 由上面的计算过程可知，所求的平均数实际上就是随机变量的可能取值与取该值时对应的频率乘积之和．由于这个平均值是由观察得来的，所以会带有—些偶然性，这种偶然性主要表现在频率上．如果我们能用概率代替频率，就能从根本上消除这种偶然性，从而在本质上反映出随机变量的平均值．为此，我们将期望定义为如下的值： 一般地，设随机变量η的分布列为： η … … P … … 表1-14 我们定义为离散型随机变量η的数学期望，简称期望．[注：一个随机变量的期望是一个确定的值，如果它存在的话，应与等号右边的求和顺序无关．] 根据数学期望的定义，我们可得关于期望的两条重要的性质： 性质一：对于任何常数c，公式E(cη)＝c·Eη恒成立．[注：一般地，随机变量η的期望可以成E(η)简记为Eη，但若η前有系数时，必须写成E(kη)，k为常数系数．] 性质二：对于多个随机变量，若它们的期望都存在，则下式成立． 下面列举几个常用分布的期望值： (1)服从两点分布的随机变量η的期望值为Eη＝P．(其中P为η取1时的概率)． (2)服从二项分布的随机变量η的期望值为Eη＝n·P．(其中P为事件成功的概率)． (3)服从几何分布的随机变