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北京大学2010年数学分析考研试题。 用有限覆盖定理证明聚点原理. 是否存在数列，其极限点构成的集合为，说明理由. 设是无穷区间，为上的非多项式连续函数，证明：不存在上一致收敛的多项式序列，其极限函数为. 设在上连续，在内可导，且满足， 求证存在，使得. (1)设，是有界闭区间，， 证明函数列在上一致收敛. 若，如果是有界开区间，问在上是否一致收敛？ 说明理由. 构造上的函数，使其在上间断，其他点连续.（表示有理数） 广义积分与均收敛，证明在上有定义，并且有连续的导函数. 计算曲线积分，其中为与交线，从轴正向看是逆时针. 证明下面的方程在点附近唯一确定了隐函数，，并将在点展开为带皮亚诺型余项的泰勒公式，展开到二阶. 设，是上的非负单调递减连续函数，且和均发散.设，试问是否一定发散？说明理由. 北京大学2010年数学分析考研试题的解答 解答 用“有限覆盖定理”证明“列紧性定理”。 分析过程： 设是一个有界的数列，我们要证明从中必可选出一个收敛的子列。 因为是一个有界的数列， 可设 ，； 显然中收敛的子列的极限必属于有限闭区间，也就是说要证明中的存在一点，必是某个子列的极限。 命题：是的某个子列的极限等价于在的任何邻域中必有数列中的无限多项。 命题：不是的任何子列的极限等价于 存在，使得 中至多只含有数列中的有限多项。 证明：用反证法，假若结论不真。则中的任何一点都不是某个子列的极限，于是存在， 使得中至多只含有数列中的有限多项； 显然开区间族 是的一个开覆盖； 根据“有限覆盖定理”，从中必存在有限个开区间就能覆盖； 即， 必有中只含有数列中的有限多项，而它又包含数列的全部项，这与数列是无限多项矛盾。 所以，假定不成立。原命题得证。 解答 不存在，因为极限点的集合为闭集，而为非闭集，因为，而. 3、设实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数，证明：也是多项式。 证明 因为实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数， 所以对任意，存在，使得当时，有， 又因为也是多项式，若不为常数，则当趋于无穷时，也趋于无穷，矛盾。所以，其中为一无穷小序列。 由上面结论及是多项式，可知当时， ， 其中为某一固定的多项式，为某一收敛数（因为为柯西列） 因为由已知条件 ， 一致收敛于0,及， 所以有，即也是多项式，结论得证。 证明 记， 则由积分中值定理，存在，使得 ， 由题设条件知，, 由Lagrange中值定理，推得， 存在，使得 ， 即. 5、证明（1）,是有界闭区间， 不妨设， 取，在上一致连续， ， ， 由在上一致连续，对任意，存在， 当，时，有. 对于上述，存在正整数，当时， 对一切，，有 ，且， 从而， ， 即在上一致收敛于. 若，是有界开区间，在上不一定一致收敛. 事实上，我们有例子， 例1 设，， 显然，，，. 但不是一致收敛，这是由于 ，. 例2 设，， ，， , 。 在上不一致收敛. 解 记，构造， 则当时，，在处连续， 或采用Riemann函数来说明. 证明 对每一， ， 由Dirichlet判别法，知以上在上有定义， 对任意，， ， 当时，，，关于一致； 当时，，，关于一致， 根据Dirichlet判别法，在上一致收敛， 又 在上也是一致收敛的（证法同上面的类似）， 所以在上连续， 由于的任意性，可知在上有连续的导函数. 解 记， ， 利用Stoks公式，得 . 证明 记，， 由， 及隐函数存在定理，知 存在唯一定义在附近，满足 ， 又. 由， 得，， 在处 ， 得，，. 故在的泰勒展开为 . 解 未必发散. 例 记，考虑阶梯函数， ， ， 则 ， ， 但是 ， 从而， 然后再把阶梯函数改造成连续函数，改造方法如下： 在区间端点挖一小段，比如第一个间断点取长的小段，第二个间断点取，第n个间断点取，在小段上用直线连接起来就可以. 由于，都是有界的，这样去掉的小段的总长也是有界的，那么阶梯函数和这样改造成的连续函数在这些小段上的积分也只相差一个有界的量，从而构造的连续函数的积分也是发散的. 北京大学2001年数学分析考研试题 求极限. 设在点可导，，求极限. 证明函数在上一致连续. 设为包含原点的平面凸区域，在上可微，且，证明在上恒为常数. 计算第一型曲面积分,其中是锥面被柱面，割下的部分. 求极限，其中在上连续，，. 求常数，使得曲线积分，，对上半平面内的任何光滑的闭曲线成立. 证明函数在上无穷次可微. 求广义积分，. 设是以为周期的周期函数，且，求与的Fourier级数是否一致收敛？（给出证明）. 北京大学200