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20 06 --20 07 学年第 二 学期考试试卷(A) 试卷名称： 高等数学（理工类） 课程所在院系： 理学院 （N） 考试班级 学号 姓名 一、填空题（每题3分，共39分） 1． 设，则=. 2． 极限= 2 . 3． 设函数在点处取得极值，则常数 -5 . 4． 函数的全微分为 . 5． 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 0 6．微分方程满足初始条件的特解为. 7．设是微分方程的三个不同的解，且常数，则微分方程的通解为 . 8．周期为的函数，它在，则的傅里叶级数的和函数在处的值为 0 . 9． 设为平面在第一卦限中的部分，则 =. 10． 曲线在对应的点处的法平面方程是. 11. 设L为下半圆周，则对弧长的曲线积分=. 12．函数展开为的幂级数的形式为 13．若级数收敛，则 -1 二、（5分）函数由方程所确定，其中有连续导数，是不全为零的常数，证明： 证明：方程两边同时对求偏导得 故 三、（5分）设，求 解： 四、（6分）求微分方程满足条件的特解. 解：特征方程为： 特征根为： 对应齐次方程的通解是： 设原方程的特解为：，将其代入原方程待定系数得.所以 故原方程的通解为 由解得 因此所求的特解是 五、（6分）计算二重积分，其中. 解: 六、（5分）利用格林公式，计算，其中L为以围成区域的正向边界. 解: 七、（6分） 设是由曲线绕轴旋转而成的曲面. (1) 写出的方程.（2）计算，其中取下侧. 解: (1) 的方程是. (2) 设为的上侧，则 八、（6分）求幂级数的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数. 解： 收敛半径，收敛区间为 ， 九、（5分）设是收敛的正项级数，收敛. 试讨论的敛散性，并说明理由. 解: 是绝对收敛的. 因为收敛,所以部分和有界,从而数列有界 即存在常数，使，故 由于是收敛的正项级数，由比较审敛法知， 绝对收敛. 十、（6分）设可导函数满足，求. 解：方程两边对求导得 　　　　　　　 即　　　　　　　 求解上面的一阶线性微分方程得 　　　　　　 由于，所以，故 十一、（5分）为某二元函数的全微分，并求，计算. 解　因为　　　　　　　　 所以 为某二元函数的全微分 　　　　　 　　　故　 　　　　 十二、（6分）求抛物面的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程. 解：设，得 抛物线在处的切平面方程为 　　　 即　　　 该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为 　　　 解 　　　　　 得，由提意可知的最小值一定存在，且只有一个驻点，故可断定的最小值为 ，切平面为 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 北京林业大学2006--2007学年第2学期考试试卷答案 试卷名称：高等数学（经济类、A卷） 课程所在院系：基础学院 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、已知两点和,则模____ 2 _____。 2、以点为球心，通过坐标原点的球面方程是： 。 3、曲面与平面的交线平行于轴的投影柱面 为。 4、设，其中， 则。 5、设，则 6 。 6、设，则。 7、设，则全微分 。 8、交换二次积分的次序 。 9、微分方程的特解。 10、微分方程的特解形式可设为。 二、综合计算题（每小题6分，共66分） 11、设二元函数，求。 解：（2分）， （2分）， （2分）， 12、求由方程所决定隐函数的导数。 解：，（2分）， （2分），（2分）。 13、求函数在椭圆域上的 最大值和最小值。 解： 驻点（0，0）（2分） ，（2分） ，，， 可能极值点 （0，2），（0，-2），（1，0），（-1，0）， 最小， 最大。（2分） 14、计算，是由直线和曲线所围成的闭区域。 解： （2分） （2分） 。（2分） 15、计算，其中。 解：（4分）。（2分） 16、求幂级数的收敛域。 解：令， ，，（3分） 当时，，均收敛， 收敛域 ，。（3分） 17、判定级数敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。 解： 发散，发散。（2分） 设，当，，单调递减，（2分） 又，条件收敛。（2分） 18、求幂级数在收敛域内的和函数， 并求级数的和。 解：，，（3