十平稳随机过程.docVIP

第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p，，若，即T中任意的与，维r.v与有相同的维d.f。即 则称s.p是一个严（强，狭义）平稳过程。 当维d.l时，则有 若取=1，则有，特别，当，可取则有。此时平稳过程的一维d.l与（时间）无关。于是 即的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 也与时间t无关的常数。 而且的二维d.l也只依赖于即当时，有 所以与之间自相关为 它只依赖于类似地之间协方差为 并且 一般来说，实际应用中的s.p是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的 定义2：已给s.p若且满足 1°（常数）（又记） 2° （又记） 则称是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p。当取复值时，则称复平稳s.p. 定义3：已给两平稳s.p ，，若满足 则称是联合平稳的或平稳相关的。 例1~例3见书上，当T取离散值时，称平稳序列。 例4：已给s.p,其中为常数，r.v，试证是平稳s.p. 事实上，显然。 （或） =0. 及 故由定义2知是一个平稳s.p. §2 各态历经性（遍历性） 先令给二阶矩s.p.在T上均方积分定义，考察[a,b] 上一组分划 记若存在 一个r.v 使即 则称在[a,b]上均方可积，并记 理论上已证明：二阶矩s.p在T=[a,b]上均方可积的充分条件是 并且 再引入时间均值与时间相关函数。 时间均值定义为 ——是r.v 时间相关定义为 ——是r.v 先看一例 例1见书。 定义：设是平稳s.p 1°若则称的均值具有多态历经性。 2°若实数有 则称的自相关函数具有多态历经性。若称得均方值具有多态历经性。 3°当的均值与相关函数都具有多态历经性时，则称是多态历经的（又称遍历或ergodicity）. Th1. 平稳s.p的均值具有多态历经性 想法（思路）。任一r.v ,现在故 （*） 证：先求再求 下面计算 令， 则 ， 从而 代入（*）式即得证明。 推论：若极限，则均值具有各态历经性，极限均值不具有各态历经性。 定理2：平稳s.p相关函数具有各态历经性， 而 。 定理3：平稳s.p，， 。 定理4：s.p（平稳），， 。 §3 相关函数的性质 设和是平稳相关的s.p。即有： ， ，， 它们具有性质： 1° 2°，即是的偶函数. . 3°由许瓦兹不等式知： 同理有： 称 和 各为标准自协方差和标准互协方差函数，故有，. 由第4章§3知，当且仅当时，与互不相关. 4°是非负定的，即中及实函数有： 反之，理论上已证明：若是连续的非负定函数，则它必定是某平稳s.p的自相关。 5°若平稳s.p满足条件 即称是周期为的平稳s.p. 平稳，故，利用r.v ,. 于是由许瓦兹不等式就有 即此时周期平稳随机过程的自相关函数也是周期为的函数。 §4 平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程功率谱密度 回忆，设普通函数满足（能量有限），则有Fourier变换 Parseval公式 为，作截尾函数 此时，故对有F变换。 此时，Parseval公式为 等式两边乘以，就有 令如极限存在，得到， 称，为x(t)的平均功率谱密度。 接着考察平稳随机过程 ，则有 , 称 故有 谱密度性质： 也是w的实非负偶函数。 事实上 令 完全与§2一样. () 2见书 书上表12.1 例2 所以 冲激函数的性质： 若f(t)在处连续，则 及 例3 白噪声：设X(t)是平稳随机过程且EX(t)=0, ,则称X（t）是白噪声。 此时 若平稳过程功率谱密度为 则称是带限（低通）白噪声，此时 , (三)互谱密度及其性质： 设X(t),Y(t)是平稳相关的，定义 为X(t),Y(t)的互谱密度， 设是实正交增量随机过程EY(t)=0, ,求X(t)自相关函数，讨论其平稳性，若平稳，求功率谱密度。 解：由题设知 与t无关，因此X(t)是平稳随机过程，并且 功率谱密度为 例2． 设是n个实随机变量，是n个实数，试问之间应满足什么条件才能使是