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第十二章　习题一 数项级数 一．选择题 1．给定下列命题：① 若收敛，则收敛；② 若收敛，则收敛；③ 若，则发散；④ 若收敛，则、都收敛．其中正确的命题是 （ B ） （A）①和②； （B）②和③； （C）③和④； （D）①和④． 2．设，则数列有界是级数收敛的 （ B ） （A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充分且必要条件； （D）既非充分又非必要条件． 3．若、收敛，则 （ C ） （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）收敛性不定． 4．设a为常数，则级数 （ C ） （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与a有关． 5．级数（）敛散性为 （ A ） （A）当时，绝对收敛；当时，条件收敛； （B）当时，绝对收敛；当时，条件收敛； （C）当时发散；当时收敛； （D）当时，绝对收敛． 二．填空题 1．如果级数的部分和为常数a，则，（当时）． 2．若，则． 3．设为级数的部分和数列，且收敛，则． 4．设，且（），则． 5．． 三．计算题 1．判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和： （1）． 解：= ，故级数收敛，其和为1． 另解：（与都收敛） ． （2）． 解： 收敛，发散，发散，故原级数发散． 2．判别下列正项级数的敛散性： （1）． 解：，级数收敛． （2） ． 解：当时，，级数发散； 当时，，级数发散； 当时，，而收敛，级数收敛． （3）． 解：，级数收敛． （4）． 解：，级数收敛． （5）． 解：，级数发散． 3．判别下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）． 解：，级数不是绝对收敛的； 又↘0，由莱布尼兹审敛法知级数收敛，级数条件收敛． （2）． 解：，级数绝对收敛． *4．利用级数求下列极限： （1）． 解：，收敛， ． （2） ． 解：==． 令．由比值审敛法知级数收敛，存在．记，则有 ， 令，得，． ． *另解：==， 令 ， ， 有，． 四．证明题 利用级数收敛的必要条件证明：． 证：记．，级数收敛，．证毕． 《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________ 4