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2015年华南师大附中高三综合测试 数学（理科）答案 一、选择题：DACD ABBC 二、填空题：(-∞,-1)∪(0,+∞) 10. 60 11. －9 13. 23 14. 7 15. 5 三、解答题：16．解：（I）根据三角形面积公式可知：推得； 又根据三角形余弦公式可知：推得。 综上可得。 ………………………………4分 （Ⅱ）, ………………………………6分 当时， ………………………………7分 当时，,由余弦定理得， 联立，得………………………………10分 ，， 综上或。, ………………………………6分 当时， ………………………………7分 当时，, 综上或。17．解：（I）依题意，掷一次骰子，掷出1点的概率为, 掷出2点或3点的概率为 ，掷出4点或5点或6点的概率为；…………2分 记事件A=“依次成公差大于0的等差数列”，则x=0,y=1,z=2；即甲、乙、丙三盒中分别放进0、1、2个球. …………4分 P（A）=；…………6分 （II）z的取值为0，1，2，3，…………7分 而， ； …………10分 随机变量z的概率分布列 z 0 1 2 3 数学期望为.--------------------12分 18：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面, 又,∴平面, 得,又, ， 平面.…………………4分 (Ⅱ)∵平面，∴, ∴四边形为菱形,故, 又为中点,知∴.即△ACA1为等边三角形， 取中点,则CF⊥AA1, 由(1)可知平面,∴BC⊥AA1, CF∩BC=C， ∴平面,AA1平面A1AB，从而面面,…………6分 过作于,则面, 在中,,则BF=，由面积法可得, 即到平面的距离为.…………………9分 （用体积转移法同样给分） (Ⅲ)过作于,连,则, 从而为二面角的平面角, 在中,,∴,…………10分 在中,CH=,则HG=，cos∠CGH= 故二面角的余弦值为. …………………14分 解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴, 又平面,以为轴建立空间坐标系, ……1分 则,,,,,, ,,由,知, 又,，平面.……4分 (Ⅱ)由,得.设平面的法向量 为,,,, 设,则. …………6分 ∴点到平面的距离.…………………9分 (Ⅲ)设面的法向量为,,, ∴.…………10分 设z= -1,则, 设二面角的平面角为θ，则，的余弦值为.…………………14分 19．解：（I）在已知式中，当n=1时， ∵a10 ∴a1=1………………………………………………………………1分 当n≥2时， ① ② ①－②得， ∵an0 ∴==2Sn－an ∵a1=1适合上式…………………………3分. 当n≥2时， =2Sn－1－an－1 ④ ③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1 ∵an+an－10 ∴an－an－1=1 ∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………6分 （Ⅱ）∵ ∴ ⑤………………………………………………………….8分 当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为 ⑥ 依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ1………………………………10分 当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为 ⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立， ∴……………………………………………………………………12分 ∴ ∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1bn………………………14分 20．解：（Ⅰ）设点，由得，，求导， ……2分 因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得， 所以抛物线C1 的方程为。 …………… 5分 或：将直线代入抛物线由?=0解出p同样给分。 （Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，…… 6分 根据切线又与圆切，得，即，化简得， 　……7分 由，得， 由方程组，解得， 　……………9分 所以， 点到切线PQ的距离是， 所以， ， 　……………12分 所以， 当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为。……………14分 21．解：（Ⅰ）m=1时， 而x 0，所以方程即为 …………