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原创率 抄袭率 引用率 字数统计 段落统计 58.6% 40.96% 0.43% 6232 146 注：报告中红字表示重度抄袭，橙字表示中度抄袭，绿字表示引用 Banach不动点定理的延伸及应用 赵越 （吉林师范大学 数学学院 2009级3班 吉林四平 136000） 指导教师：吴秀兰（讲师） 摘要：本文主要介绍Banach不动点定理的三种延伸形式，即在闭球中的压缩定理；有界集的不动点问题；改变完备性的不动点定理.并结合具体例题介绍不动点定理在线性代数中的应用；数学分析中定理证明的应用；微、积分方程中的应用. 关键词：Banach不动点定理；延伸；应用 Extension and Application of Banach Fixed Point Theorem Zhao yue (Class 1 Grade 2008 in College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping Jilin 136000) Directive Teacher: Wu Xiu-lan（Lecturer） Abstract: This paper mainly introduced the three generalizations of Banachs fixed point theorem. Namely compression fixed theorem in the closed ball, the bounded set problem of fixed points, the fixed point theorem of completeness is changed. The application of fixed theorem is introduced by examples. The applications are following: the application of fixed point theorem in linear algebra; the application of mathematical analysis; application of differential and integral equation. Key words: Banach fixed point theorem; Extension; Application 不动点的相关理论是来自波兰的数学家巴拿赫（Banach)在1922年提出的,Banach 不动点定理由此问世.泛函分析中有关微积分中的隐函数和方程以及数列等的问题都可以利用的Banach 不动点定理来解决处理,和离散数学、数学分析乃至拓扑学和实变函数的应用中都是很普遍的,并且在现代数学的发展中起到了很重要的作用. 从应用方面看,Banach 不动点定理还不那么全面广泛,因为常常遇到条件的限制,都是在完备的度量空间中运用的.本文将从数学本质出发,对Banach 不动点定理的运用及延伸进行说明论证,并举例讨论Banach 不动点定理在数学分析、代数方程等问题中的应用. 1.Banach不动点定理的初步认识 本章主要讲述的是关于Banach不动点定理的一些基本概念和定理,我们知道完备的线性赋范空间就是Banach空间,Banach不动点定理是一个最基础而又易于理解的定理,这是学习各种不动点理论中的基础,同时能够为以后的学习做好铺垫，借助这些知识来解决一些数学问题,从而能使我们更好地理解和运用Banach不动点定理.为此,我们简要叙述一下Banach不动点定理的有关定义和具体的定理内容. 1.1相关定义 定义1[1]　 不动点 如果说 是给定的一个集合,而 又是一映射,假设存在 ,使得 ,那么就说 是映射 的一个不动点. 定义2[2]　 压缩原理 如果 为度量空间,其中, 是 到 的一个映射,如果说存在这样一个常数 , 1,那么可以得到对于所有的 ,满足条件:不等式 ， ,那么 是 上的一个压缩映射. 定义3　若 是一个度量空间,若果 中的任意一个Cauchy列都收敛,那么就说 是完备的. 注1　如果 ,那么 是一常映射.当 时, ,则会有 ， 那么 ,从而可得到 . 注2 在压缩原理的内容中,压缩映射一定是是连续映射.事实上,当 时,有 . 注3 对于度量空间 ，此空间中的收敛列一定为Cauchy 列,反之则不成立.那么会有结论:度量空间 中的Cauchy 列是收敛列 度量空间 中的Cauchy 列存在收敛子列. 1.2定理内容 本节主要讲述压缩映像原理的内容,这个定理是非常基本的,它在泛函分析中是一个常见而又非常简单的存在性定理.在数学分析中,许多存在性定理问题就是