厦门大学高数(非数学专业)理工类竞赛卷答案.docVIP

学号: 院系: 高等数学竞赛(理工类)试题 姓名: （ 2006年7月6日 晚 7?00 ~ 9?00 ） 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一、单项选择题（每题4分 共20分） 1．方程在内实根的个数为（ B ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若在上连续且可导，，， 则有（ C ）。 A. I = 1 B. I 1 C. I≥1 D. I = 0 3．设连续，且其中是由 所围区域，则等于（ D ）。 A．； B. ； C. ； D. 。 4. 设在上可积，且区域具有轮换对称性（即若，则），则（ A ）。 A. ； B. 其中为的部分区域； C. ； D. 以上结论均不成立。 5. 设函数都连续，且是非齐次线性微分方程的通解，则（ B ）。 A. 是方程的解 B. 线性无关 C. 可能线性无关，也可能线性相关。 D. 线性相关 二、填空题（每题4分 共20分） 1．设函数，则 。 2．设为常数，则 a。 在和之间， 于是， 3． 。 4. 直线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为 。 5．设，且数列单调，若级数， 收敛，级数是收敛还是发散？ 收敛 。 三、计算与证明题（共50分） 1．（10分）求极限。 解：考察级数 ，由正项级数的比值法，有 则级数 收敛，它的和等于所求的极限，记 ，则 ，两式相减得 故 2．（10分）设在上由定义，且函数在上单调不减，证明函数在上连续。 证明：因为单调不减，故当时有， 由此得，又因为也单调不减，故当时有，即，故 ，由上所述当时有，由夹逼定理，即可推得在处的右连续性，即，同理可推得，由此即知函数在上连续。 3. （10分）设在上单调增加，，， 证明： 证：由科西不等式 由于，上式左边非负，所以两边平方即得 4. （10分）设由方程给出，且都可微，证明： 证明：由隐函数存在定理，得 令，则 5．（10分）求幂级数 的和函数。 解：设幂级数的和函数为，易知此幂级数的收敛半径为， 又，故求解一阶线性微分方程 即得。 四、应用题（10分） 设厦门笎筜湖的正常水量为V（体积），国家环保指标规定湖中所含的污染物含量不得超过m0，2004年底经测定，湖中所含污染物的含量已经超标5倍。（为治理湖水污染，2005年市政府对笎筜湖进行了大面积的清淤）假设每年流入湖内的清净水为,流入湖内的污水为，每年流出的湖水水量为，如果不进行清淤，从2005年初起，限定排入的污水所含污染物的浓度不得超过，问至少要经过多少年，湖中污染物的含量才能达到国家规定的标准？（设湖水中的浓度是均匀的） 解：设2005年后第t年污染物含量为m(t)，在时间[t,t+dt]段内，排入湖中污染物的含量为 ，流出湖泊的水中污染物的含量为，则在时间[t,t+dt]段内湖中污染物的改变量为 ，又，解得 ， 令，得。即若不进行清淤，2010年8月湖中污染物的含量才能达到国家规定的标准。 1 3