参考答案极限与连续.docVIP

阶段自测题 （极限与连续性） 一、填空题 1．函数的定义域为 ． ２．函数的反函数为 ． ３．设，则． ４．当 时，若 与 等价，则，3． ５．已知，则． 二、单项选择题 1．若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中）数列中的点（ B ） （Ａ）必不存在； （Ｂ）至多只有有限多个； （Ｃ）必定有无穷多个； （Ｄ）可以有有限多个，也可以有无穷多个。 2．考察下列命题 ① 若数列满足:，且，则。 ② 若数列满足:，且，则。 ③ 设，且，则存在，当时，有。 ④ 设，且，则存在，当时，有。 正确的命题是（B　 ）。 （Ａ）①，③；　 （Ｂ）②，③； （Ｃ）①，②，③； （Ｄ）②，③，④。 3．下列结论错误的是（　B　）． （Ａ）函数是有界函数；（B）当时，函数的极限存在； （C）是奇函数； （D）当时， 是无穷小量． 4．设 ，则=（ B ） （Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）1； （Ｄ）2。 5．设，，则当时，（ A ）． （Ａ）和是等价无穷小量； （B）是的高阶无穷小量； （C）是的低阶无穷小量； （D）和是同价无穷小量但非等价量． 6．极限 =（ D ） （Ａ）2； （Ｂ）0； （Ｃ）； （Ｄ）不存在但不为。 7．设，则（ D ）． （Ａ）1； （B）0； （C）； （D）． 8．下列运算过程正确的是（ C ）． （Ａ）； （B）； （C）； （D）． 9．设函数，讨论函数的间断点，其结论为（B ） （Ａ）不存在间断点；　 （Ｂ）是的间断点； （Ｃ）是的间断点； （Ｄ）是的间断点。 10．设 在处连续，则（ D ） （Ａ）2；　 （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）。 三、设．求的表达式． 解： 四、设函数，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型． 解：因为在时无定义，所以为间断点，函数在定义域内连续。 又因为：当时，， 所以是无穷间断点； 当时， ， ，， 所以，是可去间断点。 五、设在上连续，求． 解：因为在上连续，所以， 而，所以：。 六、计算极限 （1）． 解： （2）． 解：原式=。 七、设 ，（），证明存在，并求． 解：因为，所以：数列有界； 下证单调性：因，假设，则： ， 即：，所以数列单调递增且有上界，从而，极限存在。 设，则由得： ，即：。 八、已知，求． 解： 所以：，得：， 当时，，不符合题意，舍去； 所以，；此时，， 因： 所以：。 九、设是三次多项式，且， （1）求，； （2）求； （3）． 解：（1）因为，所以，，； （2）由（1）可知，为多项式的两个根，设 ，由， ，解得：， 所以， （3）。 十、设在区间上连续，，是两个任意给定的正数，证明存在，使得． 证：因为在区间上连续，且，所以，在连续，有闭区间上连续函数的性质，知：必，使在上，从而，， 对，有，即： ， 由介值定理得：，使。 5