双曲复数与方程.docVIP

双曲复数与Cauchy—Riemann方程 摘要: 利用Clifford 代数的双曲虚单位引入双曲复数和双曲复平面的概念，并讨论了它 们的性质，然后给出了Cauchy-Riemann方程的几种不同的表达形式. 关键词: Clifford 代数;双曲复数; 双曲复平面; Cauchy—Riemann方程 用Clifford 代数表述非欧几何及近代物理的有关问题已经成为人们关注的课题.文献［2］以 Clifford 代数为工具，讨论 Minkowski空间的几何性质及狭义相对论的时空结构.文献［3］介绍了双曲复数，双曲复变函数及双曲正则函数，并且给出了Cauchy-Riemann方程的代数表达式，本文在此基础上给出了Cauchy-Riemann方程的极坐标表达式、向量形式和旋量形式的表达式，为讨论双曲正则函数奠定了基础. 1 双曲复数与双曲复平面 1．1 双曲复数的性质 形如的数，称为双曲复数，其中(实数域)，为Clifford 代数的双曲虚单位，有，将双曲复数的全体记为，是Clifford 代数的偶子代数.事实上，Clifford 代数是基为的4维实代数，基元素的乘法表为： 1 -1 1 基元素生成的子空间由纯量、向量和、以及双向量组成，且.令(称为偶部)，，(称为奇部)，则.偶部不仅是子空间而且是子代数，它有形如的元素组成，这里且，所以的偶子代数同构于，记. 定义的加法和乘法运算为: --------------------------------- 的加法和乘作成二维实交换代数. 定义的内积为： . 特别地， ，令，则有 或 . 若设，，则是的子空间，且有，.的所有零因子所成的集为，和互为共轭零因子集，即，作为的子代数均与实数域同构，有同构映射： . ，有逆元. 定理1 关于的乘法作成Abel群. 1．2 双曲复平面的对称性 与双曲复数对应的平面称为双曲复平面，又称平面.引入二元实函数，则平面成为一个Minkowski平面. 定义它的间隔数为， 间隔数为0的数称为迷向数，平面的迷向数所成的集合恰为二维实代数的所有零因子所成的集合，平面的迷向数将平面分为四个部分，记为 ， 中的非零元均为非迷向数，定义非迷向数的示向数为 平面的间隔数与传统的模长()概念不同，它具有如下性质： 为迷向数； ； 其中 定义其幅角为 ， 任意非迷向数的指数式及双曲函数表达式依次为 直角坐标与极坐标的转化关系为 所有迷向数所成的集合为有，为平面上的两正交直线，由原点将其分为四个部分，记为： ， ， ， . 的示向数为 定义其迷向间隔为，则，可以表示为. 时，定义迷向距离 定理2 具有如下性质： (1)关于的加法作成有恒等元的半群，且相互同构. (2)是半环上的半线性空间，且相互同构. (3) 在上定义二元运算 则成为半环上半线性空间，且相互同构.其中 . 由双曲复平面的对称性可知，双曲复平面的若干性质可以借助某个加以讨论. 1．3 双曲复数的矩阵表示 在几何代数中向量旋转角可表示成 ， 分量为 写成矩阵形式为 复数的矩阵表达式为 ，，. 这时， 因此有 ，. 2 Cauchy-Riemann方程 2．1 代数形式的Cauchy-Riemann方程 称为双曲复变函数，其中都是实变量的实值函数，分别叫作的实部与虚部.如果在某个内是连续可微的，则在该内连续可微的，且 其中，， 由于沿任意方向趋于零时极限都存在，所以 当取时， 当取时， 比较上面两式有 ， (2.1) 它是最简单的一阶双曲型方程组，它与椭圆型方程理论中的Cauchy-Riemann方程组相对应，称之为双曲型方程理论的Cauchy-Riemann方程组，简称为C.-R.方程，把C.-R.方程的连续可微的解称为双曲正则函数. C.-R.方程(2.1)能被简写成 . (2.2) 定理3 设在某个内有定义，则在点可微的充要条件是在点可微，且满足，这时. 证明 略. 令，则， 故C.-R.方程(2.1)又能被简写成