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反常积分 §1反常积分的概念与计算 问题的提出: 针对Riemann积分的缺陷⑴要求积分区间有限;⑵被积函数有界再结合[1] P264两例. 广义积分亦称为Cauchy—Riemann积分,或C—R积分. 一. 无穷限广义积分: 1． 概念和几何意义： 定义 ， . 几何意义: 例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵ 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ; ⑵ . 例3 讨论积分的敛散性 . 2. 无穷积分的性质: ⑴在区间上可积,为常数,则函数在区间上可积,且. ⑵和在区间上可积在区间上可积, 且. §2反常积分的收敛判别法 无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译 ) Th 积分收敛. ⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛收敛,( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法: 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法. ⑴ 比较判敛法:设在区间 上函数和非负且，又对任何,和在区间 上可积.则 ；. ( 证 ) 例4 判断积分的敛散性. 比较原则的极限形式:设在区间 上函数,.则 ⅰ 与 共敛散; ⅱ 时, ； ⅲ , 时, . ( 证 ) ⑵ Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下 0 ) 设对任何, , 且, ； 若且, . Cauchy判敛法的极限形式:设是在任何有限区间上可积的正值函数.且 . 则 ⅰ ； ⅱ . ( 证 ) 例5 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ ⅱ [1]P324 E6 ⑶ 其他判敛法: Abel判敛法: 若在区间上可积,单调有界,则积分收敛. Dirichlet判敛法: 设在区间 上有界，在上单调,且当时，. 则积分收敛. 讨论无穷积分与的敛散性. 例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . 例8 (乘积不可积的例) 设, .由例6的结果,积分收敛.但积分却发散.( 参阅例6 ) 二. 反常积分: 先介绍函数的瑕点. 1. 瑕积分的定义: 以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. 例9 判断积分的敛散性 . 例10 讨论瑕积分的敛散性,并讨论积分的敛散性. 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续, 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分; 设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见,瑕积分与无穷积分可以互化. 因此,它们有平行的理论和结果. 例11 证明瑕积分当时收敛. 证 , 由例6 , 该积分当时收敛. 瑕积分判敛法: Th ( 比较原则 ) 见教材Th10-23. 推论1 ( Cauchy判别法 ) 推论2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) 例12 判别下列瑕积分的敛散性 : ⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵ . 讨论非正常积分的敛散性. 三. C—R积分与R积分的差异: 1. R在上;但在区间 上可积, 在区间 上有界.例如函数 2.R,||R,但反之不确. R积分是绝对型积分. ||在区间 上可积在区间 上可积,但反之不确. C—R积分是非绝对型积分. 3. ,RR; 但和在区间上可积在区间上可积.可见,在区间上可积在区间上可积. 93 3