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第二反卷积定理 —有限区间含有无限个零点的频谱的反卷积解法 罗平安1，缪 常2 1、北京昌平回龙观云趣园三区21#-2-502(邮编102208, Email: luopingan6362@) 2、北京防化指挥工程学院 摘要:这篇文章介绍了作者发现的第二反卷积定理，并在理论上证明了该定理。该定理特别适合在有限区间含有无限个零点的频谱中求解反卷积。该定理是原反卷积定理的推广，与卷积定理配合，在一般系统中，只要已知输入函数x(t)，系统函数h(t)及输出函数y(t)中的任意二个，便可求得第三个函数。第二反卷积定理在应用数学、实验物理、信号分析系统和许多工程应用领域具有非常重要的价值。特别适合多维空间，及特殊条件下的反卷积问题的求解，更适合需要实时处理数据的场合。 关键词: 反卷积, 卷积，FFT，反卷积定理, 第二反卷积定理, 图像，Wiener filter。 1.导论 在许多应用科学领域存在许多反卷积问题, 如数学、物理、信号分析系统等等。直到现在虽然许多科学家不断对这个问题进行研究，但是仍未完全解决反卷积问题。 [1]...[15] 为了解决物理中的实际问题, 许多科学工作者在某种特殊条件下, 在某些程度上, 研究了反卷积问题。通常采用迭代法, 付里叶变换法和矩阵求解法。文献[15]中原名为“反卷积定理”，它主要研究了X(ω) 在任一有限区间上只有有限个零点时反卷积的解法。 2. 第二反卷积定理 为了从更一般数学意义上解决反卷积问题（例如：X(ω)中含有无限个零点，见后面解释）, 推广第一反卷积定理的使用条件，我们利用泛函分析方法对反卷积进行了更深入的研究, 并发现第二反卷积定理。 第二反卷积定理: (1). y(t)、h(t)、x(t)在任意有限区间[a,b]上, 满足Dirichlet 条件。且, , 收敛, 即这些积分绝对收敛。 (2). y(t)=h(t)*x(t)卷积存在。 (3). X(ω) 在上，几乎处处不等于零。 (4). 在 上绝对可积. 其中Y(ω)、H(ω)和X(ω) 分别表示y(t)、h(t)和x(t)的付氏变换. 则一定存在数值、使得下式成立: 其中：、满足 n=1, 2, …, n=1, 2, …, 且 , (n=1, 2, …, 且k为某一固定正常数) 这里, bn 和cn仅与n有关, 与(无关。 注意： (1)．是针对不同的h(t)或x(t)形式，为方便应用于其它特殊情况而特设的一种调节参变量，不是关键性变量。一般情况下，可以等于零。 (2)．当, n=1, 2, (时，有 (3)．当, n=1, 2, (时，有 (4)．是关键性变量，直接影响到反卷积的收敛与否和精度。例： 可取bn=, 显然有，且， ①当时，， ②当时，， (5). 当考虑噪声影响时，在中最小的bn 取值可能反映了噪声产生显著影响的水平。注意：这种噪声影响的水平可能不等于噪声的最大值。有关这个问题将在其它文章中讨论。 综上所述，这时 满足题设条件。注意：上面仅给出的一种取法，还要许多更好的选取方法。 证明: 即 ① 在 上绝对可积, 则 为有限数。 又，X(()几乎处处不等于零 几乎处处成立 于是，由得 任给(0，，从而存在N10 当nN1时 ② 在(-(, +()上绝对可积，存在常数A0, 使得 ， 于是 ③ 在(-(, +()绝对可积, 存在常数(0, 使得 当集(((-(, +(), 且(的测度m((时 X(ω) 在上，几乎处处不等于零，令 则mE=0 对(0，存在开集G(E 且mG( 令 (=[-A, A](G, 则m((，于是 令B=[-A, A]-G, 则B为有界闭集。因为x(t)在(-(, +()上绝对可积，于是连续。又因为在B上处处不为零，于是在有界闭集上连续。令 于是由得 存在N2 0, 当n N2时 易知，，B、(均可测，于是当nN2时，由(11)、(12)得 综合(9), (10) 和(13)式知，若取，则当n N时 3.讨论 在证明过程中可以发现: 在上面证明的过程中，如果我们使用矢量和代替相应的标量ω和t，证明仍然成立。因此，反卷积定理仍适用于多维空间，该方法比其它方法在许多方面具有非常明显的优越性。如：该算法更易从低维空间推广应用到高维空间，且运算速度比其它方法快得多。 在理论上, 参数、(n(()越小, 所得结果愈好