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变分模型 变分法基本引理 引理1. 若在[x1，x2]上分段连续， ， 则 . 证：用反证法，设不恒等于零，由的分段连续性，存在的开子区间I，使得在I上 不变号，取在I上为正，在I的余集上等于零的函数 积分得，矛盾。 引理2. 若在[x1，x2]上分段连续， ， 则 . 证明: 用反证法，不然， 则存在常数C及的两个距离大于零的开子区间I1，I2，使得， ， ，，取在的余集上等于零的函数且，，，则，矛盾. 引理3. 若在[x1，x2]上分段连续，在[x1，x2]上可积 ， 则 证明: 令, 则由分部积分得 由引理2, 定理： 设F(x, y, z)是一阶连续可微函数，若有在[x1，x2]上连续且在(x1，x2)上分段一阶可微的函数y=y(x), ,使泛函(以函数y为自变量的函数) (1) 达到极小(称这函数为极小函数)，则y必须满足方程： (2) 从而在y=y(x)的一阶导数的间断点，也必须保持连续. 证明：设,是任意实数，设y=y(x)是极小函数，考虑的函数： = (3) (3)应在时达到极小值，由函数达到极值的必要条件，应成立 (4) 在积分号内关于对(3)式求导，并取得 由变分学基本引理3, 即得(2)式，证毕 若关于x可微，求导得二阶常微分方程(称为Euler方程)： , (5) 当 F不显含x时，方程为 (6) 两边乘上得 关于x积分一次得Euler方程的初积分， (7) 这只要对(7)式关于x求导即可验证. 应用三例 1. 最速下降线问题 问题：设有不在同一铅垂线上的两点， M1(0,0)和M2(a,b), a0, b≥0, 取 y 轴方向向下. 建立这两点间的光滑轨道y=y(x)，. 要使光滑小块在M1点从静止开始滑到M2点所需的时间最少. 建立数学模型：设速度为v，小块下降的距离为y，弧长为s, 时间为, 则有关系 ，， (8) 其中g为重力加速度常数.所需的时间T与y有关，由(8)得： 积分得 , , (9) 问题就是求 , st , (10) 这就是最速下降线的数学模型. 应用(7)式于最速下降线模型，（因g是非零常数可以去掉）得Euler方程的初积分： (11) 它是一阶隐方程，引入参数t, 设 ，得 =c(1- cos t)，所以， 消去y得微分方程 , 积分得：，，它是旋轮线又称摆线，是以 c为半径的圆周沿一直线滚动时，圆周上一点所描成的曲线. 见下图(取c为单位) : 在(0,0)点物体的速度是0, 因此，(0,0)点对应于t = 0，方程为 ，， (12) 由曲线通过(a, b)可以确定c的值，这可通过解方程组： ， (13) 得到. 即先从解出t=t0，再由(13)中第一式解出c . 由(8)，(12)得, 所以最短时间为Tmin= t0. 例: 当b=0 时, .正好等于摆长为c的单摆的周期. 2. 悬链线问题 问题：设有长度为L的，线密度为常数的柔软细线悬挂在不在同一铅垂线的两点上，问此线呈何形状. 建立数学模型：设线所在平面为(x, y)平面，x 轴为水平方向，y轴的方向朝上.设线的方程为y=y(x), 悬挂点为M1=(x1,y1), M2=(x2,y2), 根据最小位能原理，线在平衡态时的形状应使得线的位能(不妨设线密度为1) ， (14) 最小，其中线的长度等于L是约束条件： , (15) 所以问题的数学模型为条件极值问题： min U(y), st (15) 成立， (16) 如同求函数的条件极值问题一样，我们可以应用Lagrange乘子法， 作辅助泛函. (17) 它不显含x, 由(7)式得它的Euler方程的初积分是: (18) 引入参数t, 使得 , 于是 , 从而得参数化的方程: , ; 消去y: 得 , 积分得: x=Ct+C1, 消去t 得悬链线方程: , 其中的常数由线长度L, 两个端点的位置(x1, y1), (x2, y2), 其中设x2x