可测函数的知识要点与复习自测.docVIP

第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过对值域区间作不交区间分解（即），再借助逆象集导出可测集的有限不交可测分解的方法，即 并能根据这样的分解将非负可测函数具体表示成一列单调递增非负简单函数列{}的极限，即，其中 。 掌握一般可测函数的定义及等价条件，并能根据定义及等价条件证明一些函数的可测性（比如：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；上的区间上的单调函数等），能正确说明简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数；能根据定义及等价定义证明上区间，开集，闭集，Borel集在可测函数下的逆象集为可测集。设为可测集为上的非负简单函数，表示在上的下方图形，则为上的可测集，并给出的一个计算公式； （2）设为可测集为上的非负可测函数，表示在上的下方图形，则为上的可测集，并给出的一个计算公式。 2、证明：可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数，（）为的示性函数，证明：为上的可测函数为中的可测集； （2）利用（1）据理说明：设为可测集为上的非负简单函数（或非负可测函数），表示在上的下方图形，则 ，， 为设为可测集为上的可测函数，证明： （1）对上区间为上的可测集； （2）对上和闭集，和为上的可测集； （3）对上型集和型集，和为上的可测集； （4）对上Borel集为上的可测集。 5、（1）设为可测集为上的实函数，证明：为上的可测函数对任意，，和都是中的可测集； 提示： （2）设为可测集为上的几乎处处有限的实函数，证明：为上的可测函数对任意，，是中的可测集。 6、证明：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；上的区间上的单调函数为可测集，为上几乎处处有限的可测函数， （1）证明：对任意，存在可测子集，使得在上有界，且 ； （2）利用（1）和可测集与闭集的关系进一步证明：对任意，存在闭子集，使得在上有界，且。 提示：，单调递减。 二、可测函数的基本性质的知识要点： ◇ 掌握可测函数的基本性质，并能熟练地利用性质来判断一些函数的可测性；掌握一般可测函数与简单函数列的极限关系，并体会此关系在讨论可测函数与连续函数之间关系（Lusin定理）中的作用。 利用可测函数的定义和等价条件 归纳判断函数可测性的常用方法 利用可测函数的基本性质 设上，若对任意的，为上可测函数，则必为上的可测函数； （2）设为可测集为上的可测函数，则 ， 为上的可测可测函数； 2、利用可测函数列的极限性证明： （1）若一元实函数在上可导，则导函数必为上的可测函数； （2）若将（1）中的“”改为“有限开区间”，则如何证明仍为上的可测函数。 3、设为可测集为上的有限可测函数，为上的连续函数，且，则为上的可测函数。 4、设为可测集为上的有限可测函数，为上实函数，满足：（1）对任意固定的，为的连续函数， （2）对于任意固定的，为上的可测函数 证明：为上的可测函数。 三、可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系（叶果洛夫定理叶果洛夫定理掌握叶果洛夫定理，叶果洛夫”和“可测函数列几乎处处有限叶果洛夫，于以及于，进而明白，于， （2）于， （3）在上本性一致收敛于， 这三者之间的纽带。 ◇ 掌握叶果洛夫设为可测集，且（），都是上几乎处处有限的可测函数，若于，则 （1）存在的一列可测子集，使得在每个上，一致收敛于，且，进而； （2）的一列单调递增的可测子集，使得在每个上，一致收敛于，且，进而。 ◇ 能正确的写出叶果洛夫定理的逆定理掌握叶果洛夫定理的逆定理的证明，并体会叶果洛夫定理中叶果洛夫定理的逆定理的证明证明一个函数列几乎处处收敛时所采用的方法。 叶果洛夫定理的逆定理的条件下， （1）于， （2）关键条件：，叶果洛夫定理在上本性一致收敛于， 三者之间的关系是等价关系。 复习自测题： 1、利用叶果洛夫定理证明：设为可测集，，都是上几乎处处有限的可测函数，若于，则对任意，存在可测子集，使得在上一致有界，且； 提示：利用“二”中的自测题的第6题和叶果洛夫定理。 2、设为可测集，都是上几乎处处有限的可测函数，若，于。 3、设为可测集，都是上几乎处处有限的可测函数，若，，，使