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同济版高数练习册答案多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
§1极限与连续
求下列极限:
(1);
解:初等函数在其定义域内连续。==
(2)
(3)
(4)=
(5)
2.证明下列极限不存在
(1);
解令则
,不同的路径极限不同,故极限不存在。
(2).
当时
当时,不同的路径极限不同,故极限不存在
用定义证明:.
解:由,故对取,当时,故
§2 偏导数
求下列函数的偏导数:
(1);
(2)
解:,
(3)
(4)
解:关于是幂函数故:,
关于是幂指函数,将其写成指数函数,故:
(5)
关于是幂函数故,
关于是幂函数故,关于是指数函数。(6)
2.填空
(1)曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为
解 法一:由偏导数的几何意义知:函数在点关于的偏导数就为
曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角(记为)的正切,即:
,得,故。
解 法二:求曲线在点处的切向量,将曲线参数化为,在的切向量为,故曲线在点处的切向量为,若记它与轴正向所成的倾角为,则,故曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为
(2)设,则=
法一:,故
法二故
(3)设,则= .
由,,有
3.设
用定义证明:在处连续,且偏导数存在.
证明(1)用定义证明在处连续:
由,
故,故在处连续
(2)
4.求下列函数的二阶偏导数:
(1)
,
(2)
, ,
验证满足:
证明:,
同理可得,,
故
设,求
,,
§3 全微分
判断
(1)若函数在点可微,则函数在点偏导数存在.( T )
(2)偏导数存在是可微的充分条件.( F )(必要条件)
(3)可微必连续.( T )
(4)连续必可微.( F )
(5)若函数在一点偏导数存在且连续,则函数在该点一定可微.( T )
2.求下列函数的全微分:
(1);
法一:,
法二
(2);
,
(3).
,,
=
3.利用微分的形式不变性求函数的偏导数,并求的值.
,
4.讨论函数在点的可微性.
分析用定义去证明函数在可微性,(1)首先考察在的可导性,若不可导,则不可微。(2)若可导求出,,算出全增量,和偏增量,(3)考察全增量与偏增量之差是否是的高阶无穷小,即极限是否为零。若为零则可微,否则不可微。
解:首先考察在的可导性,
(无穷小乘有界函数为无穷小)
全增量
偏增量
(无穷小乘有界函数为无穷小)
故函数在点的可微。
5.计算的近似值.
解:令,由于函数是初等函数故在可微
,
即,故:
§4 多元复合函数的求导法则
求解下列各题:
(1),求;
(2),求;
注意不要写成
(3),求;
法一:令则。
法二:关于是幂指函数转化为指数函数
则
法三:取对数得,,两边关于求导得
,
(4),求;
(5),求;
(6),求.
,
2.求下列函数的二阶偏导数:(需要注意的是复合函数在求导以后仍然是复合函数,求高阶导时仍然要用链式法则)
(1),求。
,(注意到为
(2),求;
(注意到分别为)
(3),求;
(注意到分别为)
(若有二阶连续偏导则,则)
(4),求
,(注意到分别为)
3已知, ,求。
分析两种方式求导:直接求导,视为复合函数用链式法则求
解:,又再由得
4.设函数满足方程,令,求证:.
分析:视为以为中间变量,为最终变量的复合函数。即
证明1:(视为中间变量,为最终变量)
由得,,
故,
又,得。
证明2:(视为中间变量,为最终变量;不妨设此时)
,
§5 隐函数的求导公式
求解下列各题:
(1),求;
法一:(隐函数法)两边关于求导:得
法二:(公式法)令函数,则,
故
(2),求;
法一:(隐函数法)两边关于求导:,得
两边关于求导:得
法二:(公式法)令函数,
则,故
,
(3),可微,求;
法一:(隐函数法)两边关于求导:得
法二:(公式法)令函数
则, 故
。
(4),求.
法一:两边关于求导得
(1)
(2)
得
(3)
(4)
两边关于求导得
即:
,(5)
联立(3)(4)(5)得
法二:求得,
(1)
(注意是以为自变量的函数)
求得(2),联立(1)(2)得
2.若由方程组
确定,求.
法一:(隐函数法)两边关于求导得:
由克莱姆法则得,
法二:(公式法)令函数,
,
3. 设,求.
法一:(隐函数法)两边关于求导得:
由克莱姆法则得
两边关于求导得
由克莱姆法则得
法二:(公式法)令函数,
4.设满足方程,都有一阶连续偏导数.
证明:
证明:由方程组确定隐函数。
故由得,解得
又方程确定,故,
则
设,函数由方程确定,若都可微, 为连续函数,证明:
证明:由得,。
方程两边关于求导得,即
方
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