场论和张量初步.docVIP

场论和张量初步 1.1 场的定义及分类 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。 均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。反之为不均匀场。 定常场：场内函数值不依赖于时间。。反之为不定常场。 1.2场的几何表示 标量场：等位线。 矢量场：矢量线的微分方程： 积分，将t看成参数，即得矢量线的分析表达式。 1.3梯度——标量场不均匀性的量度 梯度：大小为，方向为n，的矢量称为标量函数的梯度，以 表之。 在s方向上的方向导数等于梯度矢量在s方向上的投影。 梯度在直角坐标系中的表达式为 总结起来，梯度的主要性质是： 梯度描写了场内任一点M领域内函数的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。 梯度的方向与等位面的法线重合，且指向增长的方向，大小是n方向上的方向导数； 梯度矢量在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数； 梯度的方向，即等位线的法线方向是函数变化最快的方向。 定理1 梯度满足关系式 定理2 若，且是矢径r的单值函数，则沿任一封闭曲线L的线积分 等于零，反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分 则矢量a必为某一标量函数的梯度。 例：计算仅与矢径大小r有关的标量函数的梯度。 I）利用性质（2），标量函数的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r的方向，故的方向就是矢径r的方向其次的大小是 于是 ii）利用性质（5），显然 ，， 因 故 ，， 于是 ，， 而 iii）利用定理1， 因 微分得 于是 根据定理1 最后我们指出，写成的矢量场亦称位势场，称为位势函数。 1.4矢量啊通过S面的通量。矢量的散度。奥高定理。 通量 散度/奥高公式微分形式 散奥高公式积分形式 散度在直角坐标系中的形式为 组成一标量场。 1.5无源场及其性质 无源场：div a=0的矢量场或称管式场。 主要性质： 无源场矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。 矢量管不能在场内发生或终止。一般来说它只可能伸延至无穷，靠在区域的边界上或自成封闭管路。 无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，亦即此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。 1.6矢量a沿回线的环量。矢量a的旋度。斯托克斯定理 环量： 旋度/斯托克斯微分形式： 斯托克斯积分公式： 直角坐标系中的表达式： 1.7无旋场及其性质 rota=0的矢量场称为无旋场。 无旋场和位势场的等价性。 1.8基本运算公式 1.9哈密顿算子 哈密顿算子： 用哈密顿算子表示几个较复杂的微分公式： 利用哈密顿算子证明几个较为复杂的微分公式： （1）。 证 等式左边可写成 根据两函数乘积的微分法则，等于看成常数微分a和看成常数微分二项之和，于是有 其中，代表暂时看作是常数的符号，这符号以后经常使用，先考虑，既然是常数，对它不起微分作用，因此应该提出放在微分符号之前，于是有 其次考虑，此时是常数应提到符号之前，但它作为一矢量还应和矢量起点乘作用，于是有 既然都在微分号外便可去掉指标c，这样最终得