均方误差准则(MSE)和LMS算法.docVIP

5.5.2均方误差准则（MSE）和LMS算法 引言：均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响，使其最小化。 本节讨论问题： 均方误差准则； 无限长LMS均衡器（C(z)，Jmin）； 有限长LMS均衡器（Copt，Jmin）； LMS算法； 均衡器的操作； 递推LMS算法收敛特性的分析。 一. 均方误差准则 信息符号的估计值： （无限长均衡器情况） 其中， 接收数据样本为：，为白噪声。 估计误差： 定义：估计值为均衡器的性能指数。 均方误差准则：使均方误差性能指数最小（），此准则同时考虑使ISI及噪声影响最小。 获得的途径：调整，当时，(最佳抽头系数) 寻找的方法：1)根据正交性原理（线性均方估计）：。（注：与ZF准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本，这就包含了噪声）。即。 2)求函数极值方法：令 2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。 这两种方法是等价的，证明如下。 证明：求导置零方法与正交性原理等价。 假如均衡器为有限长，则 其中 ，以及 。 故 另一种方法： 可见，是的平方函数（二次型）。求导置零可得： 即， ， 结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE。 二、无限长LMS均衡器（性能） 1. 求：从正交原理出发， (10-2-27) 即 即 （*） 正交条件 注: 是收数据样本，其中的噪声已经白化。 在（*）式左边可以得到： 式中利用了。 注：都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。 因此我们有： (A) 注：，代表了序列的共轭颠倒序列。或者说代表了的MF(零时延)。 （注：令） 故 ，其支撑为： 或者说，可以得到 也可以写为 （*）式右边： 式中， 由此可得 (B) 将（A）、（B）两式代入（*）式： 上式就是: 取Z变换： (10-2-31) 则MMSE均衡器 (10-2-32) 等效MMSE均衡器： (10-2-33) 求（最小均方误差） 时域 利用正交原理第二项为零，所以 （利用(B)式） 令信息符号的平均功率为1，则 （2）频域 通过z变换及令将式的 全传输系统响应： (10-2-35) 以z反变换（留数法）求： (10-2-36) (10-2-37) 代入 ，得 将以信道折叠谱表示。因为 的傅里叶变换为，故 又 所以 (10-2-18) 所以 (10-2-38) 所以，当ISI=0时， (10-2-39) 因，故,，利用正交原理，易证： ，即。 输出SNR: (10-2-40) 三、有限长LMS均衡器 (, ) 均方误差： 求：无限长均衡器 仿上面无限长均衡器的推导： 根据正交条件： 令 则 （注: 的支撑为。） 令 得 （10-2-43） 矩阵形式： （10-2-46） 所以， （10-2-47） 说明：, 为有个元素的列向量 为(2K+1)×(2K+1)的Hermitian矩阵。 因为自相关函数且，所以中元素满足。是共轭转置阵（Hermite）阵。 2、求均衡器的性能即求最小能达到的均方差： 前已经证明 将代入式： (10-2-48) 注：的支撑为。 工程实用方法： 采用简单的迭代过程——最速下降法。 LMS算法： 内容: a)算法： (理论算法) b)梯度： c) 工程实用算法： d) 均衡器结构：图11-1-2 算法：LMS算法是一种最陡下降法，其实质是一个迭代过程，而迭代过程是通过递推运算来进行的。 设有（2K+1）个抽头 递推运算： 每次迭代变化量： 令 则 或矩阵形式： ， 式中为调节阶距（步长）注：可以看到， 即强制要求抽头系数向着误差下降的方向变化。 则 或矩阵形式： ， 式中为调节阶距（步长step），其中