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复变函数习题答案习题详解
第四章习题详解
下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：
；
；
；
；
。
证明：
判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：
；
；
；
。
下列说法是否正确？为什么？
每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。
幂级数能否在收敛而在发散？
求下列幂级数的收敛半径：
（为正整数）；
；
；
；
；
。
如果的收敛半径为，证明的收敛半径。[提示：]
证明：如果存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径；；。
设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为。
如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。
把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径：
；
；
；
；
；
；
；
。
求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
，；
，；
，；
，；
；；
；。
为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？
证明在以的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为，。[提示：在公式中，取为，在此圆上设积分变量。然后证明的积分的虚部等于零。]
下列结论是否正确？
用长除法得
因为
所以
把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：
，；
，，；
，，；
，；
，在以为中心的圆环域内；
，在的去心邻域内；
，，。
函数能否在圆环域展开成洛朗级数？为什么？
如果为满足关系的实数，证明
[提示：对展开成洛朗级数，并在展开式的结果中置，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等。]
如果为正向圆周，求积分的值。设为：
；
；
；
。
试求积分的值，其中为单位圆内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。
6
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