复数项级数和复数序列.docVIP

第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 在这里，是复数，一般简单记为。按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。 设是一个复常数。如果任给，可以找到一个正数N，使得当nN时 , 那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作 。 如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。 令，其中a和b是实数。由不等式 容易看出，等价于下列两极限式： 因此，有下面的注解： 注解1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当nN时，在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 复数项级数就是 或记为，或，其中是复数。定义其部分和序列为： 如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作 ， 如果序列发散，那么我们说级数发散。 注解1、对于一个复数序列，我们可以作一个复数项级数如下 则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。 注解2、级数收敛于的定义可以叙述为： ， 注解3、如果级数收敛，那么 注解4、令 ，我们有 因此，级数收敛（于）的必要与充分条件是：级数收敛（于a）以及级数收敛（于b）。 注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理： 柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,…时， 柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当m及nN， 对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数 收敛，我们称级数绝对收敛。 注解1、级数绝对收敛必要与充分条件是：级数以及绝对收敛：事实上，有 注解2、若级数绝对收敛，则一定收敛。 例、当时，绝对收敛；并且有 我们有，当时， 如果复数项级数及绝对收敛，并且它们的和分别为，那么级数 也绝对收敛，并且它的和为。