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授课题目 §复级数 授课类型 理论课 首次授课时间 2009年11 月2 日 学时 2 教学目标 掌握复级数收敛性的概念及判断方法，掌握函数项级数的点态收敛和一致收敛的判断，及和函数的概念。 重点与难点 重点：掌握函数项级数的点态收敛和一致收敛的判断，及和函数的概念。 教学手段与方法 黑板 讲授 教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分内容时间分配及复数若对于都存在一个正整数，使得当 时，有 ，则称该序列有极限，或该序列收敛到，记作 求下列复数列的极限： （1） （2） （3） 解：（1）由于 定义2. 复数项级数是形如 的表达式，其中均为复数 。如果部分和序列 有极限 ，则称级数收敛于，或级数的和是，记作 否则为发散. 例1.证明：当时，几何级数收敛于，当时，发散。 即 证明： ， 而当时，，于是。 课后，证明几何级数 其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设 ，其中均为实数， 则级数收敛的充要条件为级数与均收敛。 例2.考察 的敛散性。 ，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质， 定理4.2（柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是，使及，均有 特别：易得 定理 3 若级数收敛，则级数必收敛 定义4.3 若级数收敛，则称级数为绝对收敛，绝对收敛级数必为.收敛级数. 由此可见，要判断一个复级数是否收敛，只须看是否绝对收敛，这就转化为一个正项级数的收敛性，可以利用正项级数的判别法，比如比较法，比值法。 例3. 证明 级数收敛 例4.证明级数 收敛。 在复分析中，常见的级数的项是复变量的函数，即 2.复函数项级数 定义4.4设函数在复平面点集上有定义，则称级数 为定义在上的复函数项级数. 对 函数项级数 来说，肯能对某些的值收敛，对某些的值发散， 例5：设固定，证明级数当时收敛。 定义4.5 设函数在上有定义，如果，级数均收敛于，则称级数收敛于，或者说级数和函数记作 这种收敛称点态收敛，这一概念应用于解析函数时，需要更强的收敛概念。 定义4.6 如果，使得当时，对任一，均有 则称级数在一致收敛于. 一致收敛的本质是，，与所有的都无关，而对点态收敛来说，与有关， 一种常用的一致收敛的判别法： 定理4.5 魏尔斯特拉斯-判别法 设在点集上有定义 为一收敛正项级数，若在上成立则级数 在上一致收敛于，则在上一致收敛. 例6.证明：当时，在每个