复频率域理论(现代控制理论,,).docVIP

线性系统理论复频域理论 传递函数矩阵的先修内容： 1）自控原理 2）线性代数 3）拉斯变换 主要参考书：郑大中编著.线性系统理论， 清华出版社 第六章 多项式矩阵理论 6.1 多项式矩阵 定义 多项式 设s为复变量,则 称d(s)的次数为m记为degd(s)=m 当时称d(s)为首1多项式 多项式矩阵 矩阵中每个元素都是s的多项式 例 实数矩阵是多项式矩阵的特殊情况，即每个元素的次数均为0 有理分式域 例 称为s的有理分式 6.2 奇异性 奇异： 方矩阵θ(s)的行列式为0即 det[θ(s)]=0称奇异,反之为非奇异 例 判断以下多项式矩阵的奇异性 是非奇异矩阵。 ，是奇异矩阵 注意 奇异性是指方多项式矩阵行列式的值恒为0（无论s为何值） 6.3 线性相关性 定义 设是s的多项式向量,当存在一组不全为0的多项式使得 则称多项式向量 是线性相关的 反之,仅在时上式成立,则 是线性无关的 注 是s的多项式 例 考察 两个多项式向量的相关性。 解:取 由定义可知多项式向量和是线性相关的,上列写成矩阵与向量乘积的形式为 可以验证，是奇异的,等同于的列向量(或行向量)是线性相关的 6.4 秩 定义 设是p×q维多项式矩阵，即 如果至少存在一个r×r的子式不恒等于0,所有更高阶子式均等于0,则称的秩为r，记为 例 ， 推论: 1) 2) 等价于中仅有r个列(行)之间线性无关 3) 满秩意味着 4) 为方阵时，, {满秩}={非奇异} {奇异}={} 5)设θ(s) ∈R(s)p×q ， P(s) ∈R(s)q×q ， R(s) ∈R(s)p×p，P(S)与Q(S)均为任意非奇异矩阵。 则必成立 rankθ(s)=rankP(s)θ(s)=rankθ(s)R(s) 即与满秩矩阵相乘不改变原有的秩 6)设θ(s)为p×q维,R(s)为p×r维,则一般有 rankQ(s)R(s)≤min{ rankQ(s),rankR(s)} 6.5单模矩阵 定义θ(s)为多项式矩阵,当detθ(s)=常数是称θ(s)为单模矩阵 例 detθ(s)=-2 θ(s)为单模阵 单模阵的性质: 单模阵无零点 单模阵的逆仍为单模阵 单模阵一定是非奇异的,反之不一定成立 单模阵的乘积仍是单模阵 满秩的常数方矩阵是单模阵的特殊形式 6.6 初等变换 初等变换:1)交换任意两行或二列 例 被变换的矩阵为5×5维矩阵A,设初等变换矩阵为E1 E1是将单位矩阵的第2行与第5行交换 则E1A,是将A的第2行与第5行交换 AE1是将A的第2列与第5列交换 2)用一个非零常数乘某个行或列 例 E2A,结果将A的第4行乘C AE2,结果将A的第4列乘C 3)将某行或某列乘一多项式d(s)加到另一行或列 设 E1A,将A的第2行乘以d(s)加到第4行上 AE1,将A的第4列乘以d(s)加到第2列上 即前乘是行变换,后乘是列变换关系 初等矩阵, E1 E2 E3是以单位矩阵为基础附加变换功能而导出的.前乘是行变换后乘是列变换,初等变换矩阵均为单模阵 6.8 公因子和最大公因子 公因子:设均为多项式矩阵,如果 则称为N(s)和D (s)的右公因子 最大公因子:如果满足 R(s)是N(s)﹑D (s)N(s)﹑D (s)R1(s)都可以表示成 R(s)=W(s) R1(s) 则称R(s)是N(s)﹑D (s)p×p和p×q维的多项式矩阵N(s)和D (s),如果存在一个(p+q)×(p+q)的单模阵U(s)使得 则p×p的R(s)是N(s)和D (s)的一个gcrd 证明: (1)先证明R(s)是N(s)﹑D (s) V(s)仍为单模阵.由(6.23)得 即 D(s)=V11(s)R(s),N(s)=V21(s)R(s) R(s)是N(s)﹑D (s) (2)证明N(s)﹑D (s)R1(s)均为R(s)的右公因子 D(s)=D1(s)R1(s),N(s)=N1(s)R1(s) (6.27) 由(6.23)得 R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s) 6.28) 将(6.27)代入(6.28) R(s)=[U11(s)D1(s)+U12(s)N1(s)]R1(s) =W1(s)R1(s) W(s)为多项式矩阵.表明R1(s)是R(s)的右乘因子,由定义可知R(s)是N(s)﹑D (s) 进行行变换(左乘单模阵). 例,N(s)=[-1 s2+2s-1], 交换第1行和第2行,(第1行和第2行变化),左乘得,消掉第1列下面2个元素 首先第1行乘s加到第2行,即(第