多元函数及其微分法(复习).docVIP

第七章 多元函数及其微分法（复习） 1.多元函数 二元函数，其定义域是平面上的点集，几何意义是表示空间一曲面； 三元函数，其定义域是空间的一个区域。 2．极限 二重极限： 或 注：在二重极限中，要求以任何方式趋于，函数的极限都存在且极限值是A，这比一元函数的极限复杂得多，反之，如果当以不同的方式趋于时趋于不同的数，就可断定它没有极限。 3.连续性 几何意义：二元连续函数的图形是一张没有“洞”和“裂缝”的曲面. 二元函数的间断点可以形成一条曲线。 4.一阶偏导数 定义： 注：（1）偏导数是在多个自变量中指定一个为研究对象并假定其它变量不变的条件下,因变量对这个自变量的导数.因此,求偏导数原则上与一元函数的求导法完全一样，只要记住对一个自变量求导时把其它自变量暂时看作常量就形了。 （2）分段函数分界点处的导数只能用定义求。 几何意义：用平面截空间曲面，其截线为平面上的平面曲线，此平面曲线在处的切线的斜率，就是函数在点处关于的偏导数。在点处关于的偏导数类似。 5.高阶偏导数 二元函数的偏导数有四个： , , , . 注：如果两个混合偏导数和在区域D内连续,则求导的结果与求导的先后次序无关。 6.全微分 定义：当 成立时，则称函数在点可微，其全微分为 注：（1）可微的判断方法：检验是否为比高阶的无穷小，即检验是否有。 （2）偏导数存在未必可微，因此在已知两个偏导数和存在的条件下，不能得到，（1）中的检验式也不能写成。 几何意义：曲面在点处的切平面，当与分别有增量和时，它的坐标的相应的增量。这是因为通过曲面上一点的切平面方程为 7.连续、可导和可微的关系 8.多元复合函数的偏导数 设，，，则 若，，，则 （称为全导数） 9.隐函数的微分法 （1）设，当时， 当时， （2）设，当时，， 10.空间曲线的切线和法平面 （1）曲线为参数方程，则在点处有 切向量 切线方程 法平面方程 （2）曲线为柱面交线 ，则把x看成参数，通过隐函数求导法则可得在点处，有 切向量 *（3）曲线为一般方程 ，则在点处先判断是否有，若成立则求解方法同（2）类似。 11.空间曲面的切平面和法线 （1）曲面方程为，则在点处，有 法向量 切平面方程 法线方程 （2）曲面方程为，则有，然后同（1）一样解，此时，有 法向量 12.二元函数的极值 (1) 可微函数的无条件极值 1)通过解方程 得到驻点。 2)其次，对每个驻点求出二阶偏导数： 3)最后利用课本定理进行判断： 时极小 时极大 非极值 不定 (2) 如何求多元函数的最值 1) 在的内部求出函数的驻点 及 偏导数不存在的点。 2) 求出函数在的边界上的最大值点和最小值点。〔这是个条件极值问题，求解方法见下面的（3）。〕 3） 通过比较函数在上述得到的点上的函数值，就可得到在有界闭域上的最值。 如何求条件极值 目标函数 ，约束条件 第一种情况：如果可化为显函数或者，可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题 来解决。 第二种情况：如果函数，在区域上存在二阶连续偏导数，而且确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法。步骤如下： 首先，构造拉格朗日函数 是两项之和，第一项为目标函数，第二项是将约束条件中的非零项全部移到一边后形成的式子与乘子(的积（注意实际向左移或向右移都无所谓，只影响到参数(的符号）; 2) 然后将Lagrange函数分别对三个自变量求偏导并令其都等于零，得到一个三元方程组 3) 求解这个方程组，这里必须注意拉格朗日乘数法只是一个必要条件，我们这里解得的只是极值的可疑点，必须进一步判断。通常，在实际应用中只要求我们求出函数在约束条件下的最大值和最小值，此时只要比较函数在相应驻点处的函数值就可以了。 偏导数连续 连续 可导 可微 Z u v y x y x x x v u Z