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第七章 多元函数微积分简介 自测题 一．选择题 1．二元函数z=f(x,y)在点()处可微的充分条件是 （ ） A f(x,y)在点（）处连续； B 的某邻域存在； C 时，是无穷小量； D 时，是无穷小量。 2． 则在原点（0,0）处f(x,y) ( ) A 偏导数不存在； B不可微 C 偏导数存在且连续 D 可微 3．设为任意一个x的可微函数，为任意一个y的可微函数，若已知 （ ） A f(x,y)+ B f(x,y)+ C f(x,y)+ + D f(x,y)+ 4．已知为某一函数f(x,y)的全微分，则a和b的值分别是 （ ） A -2和2， B 2和-2， C -3和3 D 3和-3. 5．设函数，则 （ ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 6．函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 7．设函数，则点 是函数 的 （ ） （A）极大值点但非最大值点； （B）极大值点且是最大值点； （C）极小值点但非最小值点； （D）极小值点且是最小值点。 8．函数，在点处 (04天津竞赛题） （ ） A．可微 B. 偏导数存在 C. 连续, 但偏导数不存在 D. 不连续且偏导数不存在 9．考虑二元函数的下面四个性质: ①在点处连续; ②在点处的两个偏导数连续; ③在点处可微; ④在点处的两个偏导数存在. 若用 “”表示可由性质P推出性质Q, 则有( ) A. ②③① B. ③②① C. ③④① D. ③①④ 10．已知为某函数的全微分, 则等于( ) A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 二．填空题 1．极限= ((((((( 。 2．函数的定义域为 ((((((( 。 3．函数的定义域为 ((((((( 。 4．函数由方程所确定，则 。 5．设，则= ___________ 。 6．函数的驻点是_________。 三．讨论下列函数在（0,0）处的极限是否存在： 1． 2． 3． 四． 1． 2． 3．； 4． 五．讨论二元函数 在点处的连续性、偏导存在性和可微性． 六．设 ，求。 七．求内接于椭球面的体积最大的长方体。 八．求，其中是圆周及坐标轴所围及成的在第二象限内的闭区域。 九．利用极坐标计算二次积分。 参考答案： 一．DDDBAA B B A D 二．1．； 2．； 3．； 4． 0 ； 5．； 6．（1，－1）。 三．1．不存在； 2． 不存在 3． 不存在 四．1. 2． 3． 4． 五．解 首先讨论连续性．由于 ， 于是 ． 因此，函数在点连续． 其次讨论偏导存在性．根据偏导数的定义，有 ． 类似的得到，所以函数在点的两个偏导数都存在． 最后讨论可微性．根据验证可微的具体方法，选取路径使，则有 ． 于是，函数在不可微． 六．解令； ； ； ； 七．解? 设该内接长方体为v，是长方体的一个顶点，且位于椭球面上， 由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以且满足条件。 因此，需要求出在约束条件下的极值。 现用拉格朗日乘数法解，设 求出L的所有偏导数，并令它们都等于0， 有 （1），（2），（3）分别乘以，有 得??? 于是?? ?或 （时 ，，不合题意，舍去）， 把代入（4），有解得，从而 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为 八．解：该问题的积分区域： 具体的计算如下： ＝ 九．解：积分区间为：