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应用统计辅导资料七 主 题：第二章 随机变量及其分布6-7节 学习时间：2013年11月11日－11月17日 内 容： 这周我们将学习第二章随机变量及其分布6-7节，本周引入了随机变量分布函数的概念，重点讨论二维随机变量—两个随机变量联合在一起构成的二维随机向量。研究二维随机变量，不仅要单独研究其各个分量，更重要的是研究其分量的联合特征。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、理解随机变量的分布函数的概念及性质 2、了解二维随机变量及其多维随机变量的概念 3、了解二维随机变量的联合分布和性质 4、掌握计算二维随机变量的联合分布有关事件的概率的方法 5、掌握二维随机变量的边缘分布和联合分布之间的关系，并会计算有关的分布 基本概念：随机变量的分布函数、二维随机变量及其多维随机变量的概念 知识点：离散型和连续性随机变量分布函数的求法、二维随机变量的联合分布和性质；二维随机变量的边缘分布和联合分布之间的关系 1、为方便理解，我们将主要概念及其性质总结如下： 随机变量的分布函数的概念及其性质 定义:设X是任意一个随机变量，称函数 为随机变量X的分布函数。 的性质： 1） 2）是x的单调不减函数 即 3） 至多有可列个间断点，且其间断点处右连续，对任何实数x，有 注意：1)是实函数，其定义域是整个 数轴，故求时，要就x落在整个数轴上讨论。的值域是闭区间[0,1]。 2） 3）由于=-，故有} =- =- X为离散型 X为连续型 分布函数：设X为离散型随机变量， 有 右边和式是根据x的不同取值，所有小于或等于x的对应的的和。 分布函数：设X为连续型随机变量，概率密度为，对任何实数x，有 在的连续点x处，有 注意：求离散型随机变量的分布函数有两种方法： 方法1：按定义 直接求； 方法2：先求分布列，然后利用 求。 注意：由于连续型随机变量取某一数值时的概率为0，有 }=} =}=} =-= 二维随机变量的概率分布 定义：以n个随机变量…为分量的向量…）为n维随机变量。 n元函数……为n维随机变量…）的联合分布函数。 当n=2时，则为二维随机变量，联合分布函数为 联合分布函数的性质： (1) (2)是(或)的不减函数且对任意固定的和任意固定的有 , (3)关于右连续，关于右连续，即， (4)随机点落在矩形域：上的概率为 且（如下图） (X,Y)为离散型 (X,Y)为连续型 若（X,Y）的全部取值为有限个或至多可列个，则(X,Y)为离散型随机变量。 记…为X和Y的联合概率分布，或（X,Y）的概率分布。 （X,Y）的联合分布列为： Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 性质如下： (1) (2) 联合分布函数： 若（X,Y）存在非负可积函数，使得任意可度量的区域D，有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，为X和Y的联合概率密度。记为(X,Y)～ 性质如下： (1) (2) 对任何,有联合分布函数 二维随机变量的边缘分布 定义：称随机向量中每一个随机变量的分布，为关于（i=1,2）的边缘分布。设（X,Y）的联合分布函数为。 关于X的边缘分布函数 关于Y的边缘分布函数 (X,Y)为离散型 (X,Y)为连续型 设（X,Y）的联合概率分布为 ， 则（X,Y）关于X的边缘分布为： …（联合分布列中第i行各元素相加） （X,Y）关于Y的边缘分布为： …（联合分布列中第j列各元素相加） （X,Y）关于X的边缘分布函数为： （X,Y）关于Y的边缘分布函数为： 设（X,Y）的联合概率密度为， 则（X,Y）关于X的边缘密度为： （X,Y）关于Y的边缘密度为： （X,Y）关于X的边缘分布函数为： （X,Y）关于Y的边缘分布函数为： 2、典型例题解析 题型1：确定离散型和连续型随机变量的分布函数 题型2：确定联合分布函数与联合概率密度中的待定系数 题型3：由联合分布求边缘分布 题型4：求二维随机变量（X,Y）落在某一区域的概率 例1、设随机变量X的分布列为 X -1 2 3 1）求X的分布函数(题型1) 2）求 解：1）由得，即 2） 例2、设随机变量X的概率密度为 1）求X的分布函数(题型1) 2）求 解：1）由得 即 2） 例3、设随机变量(X,Y)的联合密度函数，求：常数A （题型2） 解：由概率密度性质得 例4、二维随机变量(X,Y)联合概率分布由下表所示： Y -2 0 1 -1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2